Elementare Analysis: Von der Anschauung zur Theorie

Cover\r......Page 1
Mathematik Primar- und Sekundarstufe......Page 3
Elementare Analysis......Page 4
ISBN 978-3-8274-2091-6......Page 5
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 9
1 Einleitung......Page 12
1.1 Was ist „Elementare Analysis“?......Page 14
1.2 Wie ist dieses Buch aufgebaut?......Page 15
1.3 Was ist bei der Lektüre dieses Buchs zu beachten?......Page 16
2 Funktionale Zusammenhänge und Funktionen......Page 18
2.1 Funktionale Zusammenhänge......Page 19
2.1.1 Eigenschaften funktionaler Zusammenhänge......Page 21
2.1.2 Unterschiedliche Tiefen der Betrachtung......Page 22
2.2.1 Funktionsbegri.......Page 27
2.2.2 Modellieren mit Funktionen......Page 32
2.2.3 Funktionen in unterschiedlichen Bereichen der Mathematik......Page 36
2.3.1 Grundvorstellungen......Page 41
Grundvorstellungen von Variablen......Page 42
Grundvorstellungen von Funktionen......Page 45
2.3.2 Darstellungsarten......Page 46
2.4.1 Proportionale, antiproportionale und (a.n-)lineare Funktionen......Page 51
2.4.2 Potenzund Wurzelfunktionen......Page 57
2.4.3 Exponentialund Logarithmusfunktion......Page 61
2.4.4 Trigonometrische Funktionen......Page 67
2.4.5 Funktionenbaukasten......Page 70
Verkettungen von Funktionen......Page 72
Verknüpfungen von Funktionen......Page 73
Affine Transformationen und Umkehrungen......Page 74
2.4.6 Weitere Funktionen......Page 77
a. Welcher Funktionswert f(x) gehört zu einem konkreten x-Wert?......Page 79
b. Für welche x-Werte ist der Funktionswert f(x) gleich einemkonkreten y-Wert?......Page 80
d. In welchem y-Bereich liegen die Funktionswerte zu einemgegebenen x-Bereich? Für welche x-Werte liegt f(x) in einemvorgegebenen y-Bereich?......Page 82
f. An welchen Stellen nimmt die Funktion lokal / global die größten /die kleinsten Werte an?......Page 83
g. An welchen Stellen / in welchen Bereichen ist die Zunahme / dieAbnahme der Funktionswerte besonders groß / am größten? Wo istdas Änderungsverhalten besonders stark?......Page 84
j. Ist der Funktionsgraph symmetrisch bzgl. eines Punktes oder einerGeraden?......Page 85
k. Wie können die vorgegebenen Daten / kann der vorgegebeneFunktionsgraph möglichst gut durch einen Funktionsterm beschriebenwerden?......Page 86
2.5 Exkurs: Funktionen und Kurven......Page 87
3 Ein anschaulicher Zugang zur Differenzial- und\rIntegralrechnung......Page 90
3.1 Ableiten: Änderungsraten als fundamentale Idee......Page 92
3.1.1 Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate......Page 93
3.1.2 Lokale Änderungsrate und lokale Linearität......Page 96
3.1.3 Von lokalen Änderungsraten zur Ableitungsfunktion......Page 99
3.2.1 Von der Änderungsrate zum Bestand......Page 103
3.2.2 Bestandsfunktionen als Rekonstruktionen aus Änderungsraten......Page 106
3.3 Anschaulicher Zusammenhang von „Ableiten“ und „Integrieren“......Page 110
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung......Page 112
3.4 Grenzen der Anschauung......Page 113
4 Mathematische Grundlagen der Analysis......Page 115
4.1.1 Ein kurzer historischer Überblick......Page 117
4.1.2 Die Entdeckung der irrationalen Zahlen......Page 120
4.1.3 Konstruktion der reellen Zahlen durch Intervallschachtelungen......Page 123
Die Idee der Intervallschachtelung......Page 125
Mathematische Präzisierung......Page 127
Der Satz vom Supremum......Page 130
Konstruktiver vs. axiomatischer Aufbau der reellen Zahlen......Page 132
Der Flächeninhalt eines Rechtecks......Page 133
Neunerperioden......Page 135
Definition der allgemeinen Potenz ar......Page 137
4.1.4 Die Mächtigkeit von R......Page 139
4.2 Folgen und ihre Grenzwerte......Page 145
4.2.1 Folgen......Page 146
4.2.2 Konvergenz von Folgen......Page 150
4.2.3 Beispiele konvergenter und divergenter Folgen......Page 157
4.2.4 Sätze über Existenz und Bestimmung von Grenzwerten......Page 164
4.2.5 Anwendungen von Folgen in der Sekundarstufe I......Page 169
Bestimmung der Kreiszahl π......Page 170
Der Heron-Algorithmus zur Bestimmung von Quadratwurzeln......Page 172
Zinseszins und die Euler’sche Zahl e......Page 177
4.3.1 Grenzwerte von Funktionen......Page 183
4.3.2 Untersuchung spezieller Funktionen auf Grenzwerte......Page 187
4.3.3 Stetigkeit......Page 191
4.3.4 Anschauung und Stetigkeit......Page 195
4.3.5 Eigenschaften stetiger Funktionen......Page 200
5 Grenzwerte von Differenzenquotienten: die Ableitung......Page 204
5.1.1 Differenzierbarkeit......Page 205
5.1.2 Einfache Beispiele für differenzierbare Funktionen......Page 207
5.1.3 Stetigkeit und Differenzierbarkeit......Page 208
5.1.4 Lokale Linearität und Tangenten......Page 209
5.1.5 Regel von L’Hospital......Page 211
5.1.6 Di.erenzialquotient und Differenziale......Page 213
5.2 Berechnung von Ableitungen und Ableitungsregeln......Page 214
5.2.1 Typische algebraische Umformungen bei Di.erenzenquotienten......Page 215
5.2.2 Ableitungsregeln......Page 216
5.2.3 Weitere Ableitungsfunktionen......Page 221
5.2.4 Anschauung und Differenzierbarkeit......Page 224
6 Grenzwerte von Riemann’schen Summen: das Integral......Page 229
6.1 Anschaulicher Standpunkt aus Kapitel 3......Page 230
6.2 Das bestimmte Integral und Integralfunktionen......Page 232
6.3 Erste Berechnungen von („einfachen“) Integralen......Page 239
7.1 Stammfunktionen und Richtungsfelder......Page 244
7.2 Der Hauptsatz der Di.erenzialund Integralrechnung......Page 247
7.3 Integrieren bedeutet auch Mitteln......Page 252
7.4 Von Ableitungsregeln zu Integrationsregeln......Page 253
8 Anwendungen in Theorie und Praxis......Page 258
8.1 Funktionen untersuchen......Page 259
8.1.1 Monotonie und Extrema......Page 260
8.1.2 Krümmungsund Wachstumsverhalten......Page 271
8.1.3 Bogenlänge......Page 284
Die Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen......Page 288
Stammfunktionen für Exponential- und Logarithmusfunktionen......Page 292
Asymptotisches Verhalten von Exponential- undLogarithmusfunktionen......Page 293
8.1.5 Änderungsraten bei geometrischen Maßen......Page 297
8.2 Das Wechselspiel von Theorie und Anwendungen......Page 298
8.2.1 „Wie viel Nass passt ins Fass?“ – Rotationsvolumina......Page 299
8.2.2 „Wie viel Treibsto. benötigt die Mondrakete?“ – uneigentliche Integrale......Page 305
8.2.3 „Wieso sehen wir einen Regenbogen?“ – Umkehrregel......Page 307
8.2.4 „Wie hoch ist der E.ektivzins?“ – Newton-Algorithmus......Page 313
8.2.5 „Wie viel Steuer muss ich zahlen?“ – Elastizität......Page 317
Ein Blick über den Gartenzaun – Das französische Steuersystem......Page 326
8.2.6 „Wie schnell kühlt eine Tasse Tee ab?“ – Di.erenzialgleichungen......Page 327
Literaturverzeichnis......Page 334
Index......Page 339