Effective Evolution Equations from Quantum Dynamics

این یادداشت‌ها تکامل زمانی سیستم‌های کوانتومی، و به‌ویژه استخراج دقیق معادلات مؤثر را که دینامیک شرودینگر چند جسمی را در رژیم‌های فیزیکی جالب خاص تقریب می‌کنند، بررسی می‌کنند. تمرکز در درجه اول بر اشتقاق نظریه‌های مؤثر وابسته به زمان (سوال غیرتعادلی) است که دینامیک کوانتومی چند جسمی را تقریب می‌کند. این کتاب به هفت بخش تقسیم شده است که بخش اول به طور خلاصه به بررسی خواص اصلی سیستم های کوانتومی چند جسمی و تکامل زمانی آنها می پردازد. بخش 2 رژیم میدان میانگین را برای سیستم‌های بوزونی معرفی می‌کند و توضیح می‌دهد که چگونه می‌توان دینامیک چند جسم را در این حد با استفاده از معادله هارتری تقریب زد. بخش 3 روشی را بر اساس استفاده از حالت های منسجم برای اثبات دقیق همگرایی به سمت دینامیک هارتری ارائه می کند، در حالی که نوسانات حول معادله هارتری در بخش 4 در نظر گرفته شده است. بخش 5 بر بحث در مورد رژیم ظریف تر تمرکز می کند. که تکامل چند جسمی را می توان با استفاده از معادله غیرخطی گروس-پیتافسکی تقریب زد. بخش 6 به سیستم های فرمیونی (که با توابع موج ضد متقارن مشخص می شود) می پردازد. در اینجا، رژیم میانگین میدان فرمیونی به طور طبیعی با یک رژیم نیمه کلاسیک مرتبط است، و ثابت شده است که تکامل تعیین‌کننده‌های تقریبی اسلاتر را می‌توان با استفاده از معادله غیرخطی هارتری-فوک تقریب زد. در پایان، بخش 7 همان رژیم میدان متوسط ​​فرمیونی را دوباره بررسی می‌کند، اما با تمرکز بر داده‌های اولیه شبه آزاد مختلط که حالت‌های حرارتی را در دمای مثبت تقریب می‌کند.

These notes investigate the time evolution of quantum systems, and in particular the rigorous derivation of effective equations approximating the many-body Schrödinger dynamics in certain physically interesting regimes. The focus is primarily on the derivation of time-dependent effective theories (non-equilibrium question) approximating many-body quantum dynamics. The book is divided into seven sections, the first of which briefly reviews the main properties of many-body quantum systems and their time evolution. Section 2 introduces the mean-field regime for bosonic systems and explains how the many-body dynamics can be approximated in this limit using the Hartree equation. Section 3 presents a method, based on the use of coherent states, for rigorously proving the convergence towards the Hartree dynamics, while the fluctuations around the Hartree equation are considered in Section 4. Section 5 focuses on a discussion of a more subtle regime, in which the many-body evolution can be approximated by means of the nonlinear Gross-Pitaevskii equation. Section 6 addresses fermionic systems (characterized by antisymmetric wave functions); here, the fermionic mean-field regime is naturally linked with a semiclassical regime, and it is proven that the evolution of approximate Slater determinants can be approximated using the nonlinear Hartree-Fock equation. In closing, Section 7 reexamines the same fermionic mean-field regime, but with a focus on mixed quasi-free initial data approximating thermal states at positive temperature.