Dynamische Systeme: Theorie und Numerik

Cover......Page 1
Dynamische Systeme......Page 3
ISBN 9783827424471......Page 4
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 10
1 Funktionalanalytische Grundlagen......Page 14
1.1 Einführung......Page 15
1.1.1 Metrischer Raum......Page 16
1.1.2 Normierter Raum und Banach-Raum......Page 20
1.1.3 Skalarproduktraum und Hilbert-Raum......Page 22
1.1.4 Orthogonalreihen in Hilbert-Räumen......Page 26
1.2 Lineare Operatoren......Page 30
1.2.1 Bezeichnungen und Begriffe......Page 31
1.2.2 Lineare stetige Operatoren......Page 36
1.2.3 Adjungierte Operatoren......Page 42
1.2.4 Direkte Summe und Projektoren......Page 46
1.2.5 Fredholm-Operatoren......Page 49
1.2.6 Kompakte Operatoren......Page 54
1.3 Fréchet- und Gâteaux-Ableitung
......Page 67
1.4 Nemytski-Operator......Page 71
1.5 Implizites Funktionentheorem......Page 72
1.6 Aufgaben......Page 74
2 Gewöhnliche Differenzialgleichungen (DGL)......Page 80
2.1 Einführende Beispiele......Page 81
2.2 Geometrische Interpretation einer DGL......Page 85
2.3 Existenz- und Eindeutigkeitssätze
......Page 86
2.4 Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung......Page 96
2.5 Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten......Page 102
2.6.1 Allgemeine Aussagen......Page 111
2.6.2 Kritische Punkte......Page 117
2.7.1 Stabilität linearer Systeme......Page 120
2.7.2 Linearisierung nichtlinearer DGL-Systeme......Page 124
2.7.3 Das Hartman-Grobman-Theorem......Page 125
2.8 Aufgaben......Page 135
3 Bifurkation bei gewöhnlichen DGL......Page 140
3.1 Strukturelle Stabilität......Page 141
3.2 Einige typische Bifurkationen......Page 146
3.2.1 Sattel-Knoten Bifurkation......Page 147
3.2.2 Transkritische Bifurkation......Page 149
3.2.3 Die Pitchfork-Bifurkation......Page 151
3.2.4 Die Hopf-Bifurkation......Page 153
3.2.5 Zusammenfassung der Bifurkationstypen......Page 159
3.3 Aufgaben......Page 161
4 Analytische Bifurkationstheorie......Page 164
4.1 Bifurkationsgleichung von Ljapunov-Schmidt......Page 165
4.1.1 Herleitung einer Bifurkationsgleichung......Page 166
4.1.2 Lösen der Bifurkationsgleichung......Page 177
4.2 Anwendungsbeispiele......Page 190
4.3.1 Abstraktes Hopf-Bifurkationstheorem......Page 224
4.3.2 Nichtlineare Schwingungen in autonomen Systemen......Page 227
4.4 Aufgaben......Page 237
5 Numerik der Gleichgewichtslösungen......Page 240
5.1 Berechnung von Gleichgewichtslösungen......Page 241
5.1.1 Newton-Verfahren......Page 242
5.1.2 Vereinfachte Newton-Verfahren......Page 248
5.1.3 Newton-Verfahren mit Differenzenquotienten......Page 251
5.1.4 Gedämpfte Newton-Verfahren und globale Konvergenz......Page 253
5.2 Parametrisierung von Lösungskurven und Fortsetzungsmethoden......Page 256
5.2.1 Natürliche Parametrisierung......Page 257
5.2.2 Bogenlängen-Parametrisierung......Page 266
5.2.3 Gauß-Newton-Fortsetzung......Page 272
5.2.4 Fortsetzung mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten......Page 277
5.2.5 Fortsetzung mit Ableitungsprädiktoren......Page 281
5.3.1 Stabilitätsanalyse......Page 286
5.3.2 Detektierung lokaler Bifurkationen......Page 288
5.4 Aufgaben......Page 296
6 Numerik periodischer Lösungen......Page 300
6.1 Periodisch erregte Systeme......Page 302
6.1.1 Einfaches Schießverfahren......Page 303
6.1.2 Stabilitätsanalyse......Page 309
6.1.3 Mehrfach-Schießverfahren......Page 314
6.2.1 Einfaches Schießverfahren......Page 319
6.2.2 Phasenbedingungen......Page 322
6.2.3 Technische Realisierung des Schießverfahrens......Page 325
6.2.4 Stabilitätsanalyse......Page 328
6.3.1 Definition und Eigenschaften......Page 331
6.3.2 Ableitung der Poincaré–Abbildung......Page 335
6.3.3 Numerische Approximation der Poincaré-Abbildung......Page 337
6.4 Lösungsfortsetzung und Bifurkationsanalyse......Page 340
6.4.1 Numerische Fortsetzung und Stabilitätsanalyse......Page 341
6.4.2 Bifurkationen periodischer Orbits......Page 346
6.4.3 Detektierung lokaler Bifurkationen......Page 356
6.4.4 Anwendung bei nichtlinearen energetischen Systemen......Page 361
6.5 Aufgaben......Page 371
7 Quasi-periodische Lösungen und invariante Tori......Page 375
7.1.1 Torusfunktionen......Page 377
7.1.2 Quasi-periodische Bewegungen......Page 384
7.1.3 Transformation in Toruskoordinaten......Page 387
7.2 Parametrisierung invarianter Tori......Page 393
7.2.1 Eine Invarianzgleichung für invariante Tori......Page 394
7.2.2 Basisdiskretisierungen von 2-Tori......Page 399
7.2.3 Ein parametrisch erregtes elektrisches Netzwerk......Page 407
7.3.1 Eine spezielle Invarianzgleichung für......Page 412
7.3.2 Semidiskretisierung von 2-Tori......Page 418
7.3.3 Volldiskretisierung mit Fourier-Galerkin-Methode......Page 425
7.4 Aufgaben......Page 433
Literaturverzeichnis......Page 436
Symbolverzeichnis......Page 442
Index......Page 444