Dynamics of the Axially Moving Orthotropic Web

این کتاب با تجزیه و تحلیل رفتار دینامیکی وب ارتوتروپیک متحرک محوری متمرکز شده است. مواد متحرک محوری از اهمیت تکنولوژیکی برخوردار بوده و در کاربردهای مختلف صنعتی وجود دارند. تسمه‌های انتقال نیرو، کاغذ و ورق‌های پلاستیکی در حال فرآیند، نوار فولادی در خط تولید ورق فولادی نازک، تیغه اره نواری تنها نمونه‌هایی از پیوستگی دو بعدی هستند که در آن ارتعاشات با انتقال محوری جرم همراه است. به طور کلی، پیوستار متحرک محوری به شکل مواد مستطیل شکل نازک و مسطح با سفتی خمشی کم، تار نامیده می شود. تارها با سرعت بالایی حرکت می کنند، به عنوان مثال، در تولید کاغذ، تارهای کاغذ با سرعت طولی تا 3000 متر در دقیقه حمل می شوند. بالاتر از سرعت بحرانی می توان ناپایداری های دینامیکی مختلفی را عمدتاً از نوع واگرا و فلاتر انتظار داشت. این ناپایداری ها می تواند کیفیت محصولات و عملکرد آنها را کاهش دهد. ناپایداری اره نواری منجر به کیفیت پایین سطح، عملکرد نامطلوب برش و از بین رفتن مواد خام می شود. در تولید کاغذ، ناپایداری ماشین ها، نوسانات رزونانس و بال زدن تار می تواند باعث چروک شدن و یا حتی شکستن تار شود. از طرف دیگر یکی از مشکلات مهم در این سیستم ها، وقوع ارتعاشات عرضی بزرگ به دلیل تغییرات کششی است که به آن ارتعاشات پارامتریک می گویند. پاسخ دینامیکی و پایداری مرتبط با ارتعاشات پارامتریک دغدغه اصلی در تحقیقات دینامیکی این سیستم‌ها است. برای اطمینان از اینکه سیستم عامل در شرایط کاری پایدار قرار دارد، تجزیه و تحلیل کامل دینامیک آن باید انجام شود. دانش کامل رفتار دینامیکی امکان پیش‌بینی و کنترل ناپایداری‌ها را فراهم می‌کند.

در قسمت ابتدایی این کتاب وضعیت به‌روز دانش در زمینه رفتار دینامیکی مواد متحرک محوری ارائه شده است. اولین مطالعات در این زمینه به اواسط قرن بیستم باز می گردد. از لحاظ تاریخی، نظریه ریسمان یک بعدی، نظریه پرتو، و نظریه صفحه دو بعدی به طور متوالی در مدل‌سازی پیوسته متحرک محوری استفاده می‌شدند. برای جلوگیری از عوارض، بسیاری از کارهای قبلی برای مدل‌سازی مواد متحرک محوری دوبعدی از نظریه ریسمان یا تیر یک‌بعدی به جای نظریه صفحه استفاده می‌کردند. اگرچه این ساده‌سازی در موارد خاص منجر به نتایج معقول می‌شود، اما تحلیل دوبعدی برای مدل‌سازی بسیاری از مسائل مانند مواد کامپوزیتی، صفحات پهن، نیروهای مختلف در عرض و غیره مورد نیاز است. در مرجع بررسی آثار بیست مورد اخیر سال ها بیشتر در نظر گرفته می شود. تأکید ویژه بر نقش غیرخطی‌ها در رفتار دینامیکی سیستم‌های مسافرتی است.

در قسمت بعدی کتاب یک مدل ریاضی غیرخطی از شبکه متحرک محوری مشتق شده است. تئوری صفحه ارتوتروپیک غیرخطی اصلاح شده است تا نیروهای داخلی ناشی از تار متحرک و میرایی داخلی مواد مسافرتی را شامل شود. معادلات دیفرانسیل حرکت از اصل همیلتون با در نظر گرفتن توضیحات لاگرانژ، تانسور کرنش گرین برای صفحات دیواره نازک و تانسور تنش کیرشهوف مشتق شده است. مدل ریاضی به شکل دو معادله دیفرانسیل جزئی غیر خطی است که حرکت عرضی تار و میدان نیروهای مقطعی را توصیف می کند

در قسمت بعدی کتاب راه حل های مدل ریاضی که جابجایی ها را نشان می دهد. و سرعت های انتقال بحرانی وب در حالت های تعادلی سیستم خطی شده ارائه شده است. تجزیه و تحلیل استاتیک، با تعیین موقعیت های تعادل غیر پیش پا افتاده در بررسی پایداری حرکت وب استفاده می شود. معادلات موقعیت تعادل شبکه متحرک محوری با حرکت یکنواخت مشتق شده است. جابجایی های عرضی و چروک شدن تارهای دو نوع کاغذ و تخته موجدار ساخته شده با این کاغذها به صورت عددی بررسی می شود.

نتایج بررسی پایداری حرکت سیستم غیرخطی در قسمت پایانی کتاب ارائه شده است. روش گالرکین برای گسسته کردن معادلات حاکم بر حرکات استفاده می شود و یک سیستم با ابعاد بالا از معادلات دیفرانسیل معمولی به دست می آید. رفتار پویا در محدوده سرعت زیر و فوق بحرانی وب مطالعه می شود. سه مدل رئولوژیکی مختلف میرایی داخلی در مطالعات دینامیکی مدل پرتو تار متحرک مورد توجه قرار گرفته‌اند.

ویژگی های مهم کتاب

1. دانش به روز در زمینه رفتار دینامیکی حرکت محوری دو مواد بعدی در یک مکان جمع آوری و چیده می شوند. به نظر نویسنده این اولین تلاش برای تنظیم این دانش در قالب کتاب است.
2. نتایج تحقیقاتی که در این کتاب مورد بحث قرار می گیرد عمدتاً مربوط می شود. تارهای کاغذی مورد استفاده در تولید تخته راه راه. پارامترهای مقالات در نظر گرفته شده به روش تجربی تعیین می شود. تار تخته راه راه، که از این کاغذها تشکیل شده و به عنوان یک ساختار مرکب در نظر گرفته می شود، نیز موضوع بررسی است.
3. اثرات غیرخطی هندسی، میرایی داخلی مواد متحرک، و اغتشاشات کششی که به عنوان تحریک پارامتریک بر روی رفتار دینامیکی سیستم در نظر گرفته می شوند، به صورت عددی بررسی می شوند.

The book is concentrated with an analysis of the dynamic behaviour of axially moving orthotropic web. Axially moving materials are of technological importance and are present in various industrial applications. Power transmission belts, paper and plastic sheets in process, the steel strip in a thin steel sheet production line, the band saw blade are only some examples of two-dimensional continua, where vibrations are associated with an axial transport of mass. Generally, axially moving continuum in the form of thin, flat rectangular shape material with small flexural stiffness is called a web. Webs are moving at high speed, for example, in paper production the paper webs are transported with longitudinal speeds of up to 3000 m/min. Above the critical speed one can expect various dynamical instabilities mainly of divergent and flutter type. These instabilities can decrease the quality of products and their performance. The instability of band saw results in low surface quality, unsatisfactory cutting performance and leads to the loss of raw materials. In paper production, the machines instabilities, resonance oscillations and the flutter of the web can cause the wrinkling or even a breaking of the web. On the other hand one important problem in these systems is the occurrence of large transverse vibrations due to tension variations termed as parametric vibrations. Dynamic response and stability associated with parametric vibrations are of primary concern in the dynamic investigations of these systems. To ensure that the operating system is under stable working conditions, full analysis of its dynamics has to be performed. Complete knowledge of the dynamical behaviour allows the prediction and control of instabilities.

In the beginning part of this book the up-to-date state of knowledge in the field of dynamic behaviour of axially moving materials is presented. The first studies on this subject date in the middle of the twentieth century. Historically, the one-dimensional string theory, the beam theory, and the two-dimensional plate theory were successively used in modelling the axially moving continua. To avoid complications, a lot of earlier works for modelling of two-dimensional axially moving materials used the one-dimensional string or beam theory instead of the plate theory. Although this simplification leads to reasonable results in particular cases, the two-dimensional analysis is required for modelling of many problems such as composite materials, wide width plates, various forces across the width and etc. In the reference review the works from the last twenty years are mostly taken into account. The particular emphasis is paid on the role of nonlinearities in the dynamic behaviour of the travelling systems.

In the next part of the book a nonlinear mathematical model of the axially moving orthotropic web is derived. The non-linear orthotropic plate theory is modified to include the internal forces resulting from the moving web and internal damping of travelling material. The differential equations of motion are derived from the Hamilton’s principle taking into account the Lagrange description, the strain Green tensor for thin-walled plates and the Kirchhoff stress tensor. The mathematical model has the form of two non-linear partial differential equations which describe transverse motion of the web and the field of sectional forces

In the next part of the book the solutions of the mathematical model that show displacements and critical transport speeds of the web in equilibrium states of the linearized system are presented. Static analysis, by determination of the non-trivial equilibrium positions existence is used in investigations of stability of the web motion. Equations of equilibrium positions of axially moving web with uniform motion are derived. Transverse displacements and wrinkling of the webs of two kinds of papers and the corrugated board constructed with these papers are numerically investigated.

The investigation results of stability of the non-linear system motion are presented in the final part of the book. The Galerkin method is used to discretize the governing equations of motions and a high dimensional system of ordinary differential equations is obtained. The dynamic behaviour is studied in the sub- and super-critical speed ranges of the web. Three different rheological model of internal damping are taken into consideration in the dynamic studies of the beam model of the traveling web.

Important features of the book

1. The up-to-date knowledge in the field of dynamic behaviour of axially moving two-dimensional materials is gathered and arranged in the one place. To the author’s opinion this is the first attempt to arrange this knowledge in the book-form.
2. The results of the investigations to be discussed in this book are concerned mainly paper webs used in manufacturing of corrugated board. The parameters of the considered papers are determined in experimental way. The corrugated board web, composed of these papers and treated as a composite structure, is an object of the investigations as well.
3. The effects of the geometric nonlinearity, the internal damping of the moving materials, and the tension perturbations treated as parametric excitation on the dynamic behaviour of the system are numerically investigated.