Distance Expanding Random Mappings, Thermodynamical Formalism, Gibbs Measures and Fractal Geometry

نظریه سیستم‌های دینامیکی تصادفی از معادلات دیفرانسیل تصادفی نشات گرفته است. در نظر گرفته شده است که چارچوب و تکنیک‌هایی برای توصیف و تجزیه و تحلیل تکامل سیستم‌های دینامیکی فراهم کند، زمانی که داده‌های ورودی و خروجی فقط به طور تقریبی، بر اساس برخی توزیع‌های احتمال، شناخته شده باشند. توسعه این رشته، هم در تئوری و هم در کاربرد، جهات مختلفی را طی کرده است. در این مقاله ما سیستم‌های دینامیکی تصادفی در حال گسترش قابل اندازه‌گیری را معرفی می‌کنیم، فرمالیسم ترمودینامیکی را توسعه می‌دهیم و به ویژه، کاهش نمایی همبستگی‌ها و تحلیل فشار مورد انتظار را ایجاد می‌کنیم، اگرچه خاصیت شکاف طیفی وجود ندارد. سپس این تئوری برای بررسی ویژگی‌های فراکتالی سیستم‌های تصادفی هم‌شکل استفاده می‌شود. ما یک فرمول بوون را اثبات می کنیم و فرمالیسم چندفراکتی حالت های گیبس را توسعه می دهیم. بسته به رفتار مجموع بیرخوف تابع فشار، به طبقه‌بندی طبیعی سیستم‌ها به دو دسته می‌رسیم: سیستم‌های شبه قطعی، که بسیاری از ویژگی‌های قطعی را به اشتراک می‌گذارند. و اساساً سیستم‌های تصادفی، که نسبتاً عمومی هستند و هرگز معادل سیستم‌های قطعی دو لیپشیتز نیستند. ما نشان می‌دهیم که در مورد اساساً تصادفی، معیار هاوسدورف ناپدید می‌شود، که حدس بوگنشوتز و اوچس را رد می‌کند. در نهایت، ما کاربردهایی از نتایج خود را برای سیستم‌های تصادفی هم‌شکل خاص مختلف ارائه می‌کنیم و به سؤال مطرح شده توسط بروک و بوگر در مورد بعد هاسدورف مجموعه‌های تصادفی درجه دوم جولیا پاسخ مثبت می‌دهیم.

The theory of random dynamical systems originated from stochastic
differential equations. It is intended to provide a framework and
techniques to describe and analyze the evolution of dynamical
systems when the input and output data are known only approximately, according to some probability distribution. The development of this field, in both the theory and applications, has gone in many directions. In this manuscript we introduce measurable expanding random dynamical systems, develop the thermodynamical formalism and establish, in particular, the exponential decay of correlations and analyticity of the expected pressure although the spectral gap property does not hold. This theory is then used to investigate fractal properties of conformal random systems. We prove a Bowen’s formula and develop the multifractal formalism of the Gibbs states. Depending on the behavior of the Birkhoff sums of the pressure function we arrive at a natural classification of the systems into two classes: quasi-deterministic systems, which share many
properties of deterministic ones; and essentially random systems, which are rather generic and never bi-Lipschitz equivalent to deterministic systems. We show that in the essentially random case the Hausdorff measure vanishes, which refutes a conjecture by Bogenschutz and Ochs. Lastly, we present applications of our results to various specific conformal random systems and positively answer a question posed by Bruck and Buger concerning the Hausdorff dimension of quadratic random Julia sets.