Discretization and MCMC Convergence Assessment

افزایش تصاعدی در استفاده از روش‌های MCMC و برنامه‌های کاربردی مرتبط در حوزه‌های حتی با پیچیدگی بالاتر باعث نگرانی فزاینده در مورد روش‌های ارزیابی همگرایی موجود و درک این موضوع شده است که برخی از این روش‌ها به اندازه کافی برای همه منظوره قابل اعتماد نیستند. تجزیه و تحلیل برخی از محققین عمدتاً بر روی همگرایی به ایستایی و تخمین نرخ همگرایی، در رابطه با مقادیر ویژه هسته انتقال تمرکز کرده‌اند. این مونوگراف با توسعه ابزارهای عملی (ظاهراً) برای ارزیابی رفتار اختلاط زنجیره مورد مطالعه، دیدگاه متفاوتی را اتخاذ می‌کند و به‌ویژه روش‌هایی را مبتنی بر زنجیره‌های مارکوف محدود (فضای حالت) پیشنهاد می‌کند که یا از طریق گسسته‌سازی زنجیره اصلی به دست می‌آیند. زنجیره مارکوف یا از طریق یک اصل دوگانگی که یک فضای حالت پیوسته زنجیره مارکوف را به زنجیره مارکوف محدود دیگری مرتبط می‌کند، مانند داده‌های گمشده یا مدل‌های متغیر پنهان. انگیزه انتخاب فضاهای حالت محدود این است که، اگرچه کنترل حاصل خام تر است، به این معنا که اغلب می تواند همگرایی را برای نسخه گسسته شده به تنهایی نظارت کند، همچنین بسیار سخت تر از روش های جایگزین است، زیرا ابزارهای موجود برای محدود است. زنجیره های مارکوف جهانی هستند و ماتریس انتقال حاصل را می توان با دقت بیشتری تخمین زد. علاوه بر این، در حالی که برخی از تنظیمات فضای حالت محدود ثابت را تحمیل می‌کنند، برخی دیگر امکان اصلاحات احتمالی در سطح گسسته‌سازی و بهبودهای متوالی در نظارت بر همگرایی را فراهم می‌کنند.

The exponential increase in the use of MCMC methods and the corre­ sponding applications in domains of even higher complexity have caused a growing concern about the available convergence assessment methods and the realization that some of these methods were not reliable enough for all-purpose analyses. Some researchers have mainly focussed on the con­ vergence to stationarity and the estimation of rates of convergence, in rela­ tion with the eigenvalues of the transition kernel. This monograph adopts a different perspective by developing (supposedly) practical devices to assess the mixing behaviour of the chain under study and, more particularly, it proposes methods based on finite (state space) Markov chains which are obtained either through a discretization of the original Markov chain or through a duality principle relating a continuous state space Markov chain to another finite Markov chain, as in missing data or latent variable models. The motivation for the choice of finite state spaces is that, although the resulting control is cruder, in the sense that it can often monitor con­ vergence for the discretized version alone, it is also much stricter than alternative methods, since the tools available for finite Markov chains are universal and the resulting transition matrix can be estimated more accu­ rately. Moreover, while some setups impose a fixed finite state space, other allow for possible refinements in the discretization level and for consecutive improvements in the convergence monitoring.