Discrete Iterations: A Metric Study

a c 9 h در ارائه این تک نگاری، من می خواهم هم جهت گیری آن و هم دلایل شخصی خود را برای علاقه مندی به تکرارهای گسسته (یعنی تکرار در یک مجموعه به طور کلی بسیار بزرگ، جینیت) نشان دهم. در حین کار در تجزیه و تحلیل عددی، من به دو جنبه اصلی علاقه مند بوده ام: - جنبه الگوریتمی: یک الگوریتم تکراری یک موجود ریاضی است که به صورت پویا رفتار می کند. حتی اگر دور از راه حل شروع شود، اغلب تمایل به نزدیک و نزدیک شدن دارد. - جنبه ریاضی: این شامل یک تحلیل منسجم و دقیق همگرایی، با کمک ابزارهای ریاضی است (این ابزارها عمدتاً استفاده از هنجارها برای اثبات همگرایی، استفاده از جبر ماتریسی و غیره هستند). برای مثال می توان به جنبه های الگوریتمی و ریاضی روش نیوتن در JRn و همچنین به الگوریتم QR برای مقادیر ویژه ماتریس ها اشاره کرد. این دو الگوریتم به نظر من جذاب‌ترین الگوریتم‌ها در تحلیل عددی هستند، زیرا هر دو کارایی عملی قابل‌توجهی نشان می‌دهند حتی اگر نتایج همگرایی جهانی نسبتا کمی برای آنها وجود داشته باشد.

a c 9 h In presenting this monograph, I would like to indicate both its orientation as well as my personal reasons for being interested in discrete iterations (that is, iterations on a generally very large,jinite set). While working in numerical analysis I have been interested in two main aspects: - the algorithmic aspect: an iterative algorithm is a mathematical entity which behaves in a dynamic fashion. Even if it is started far from a solution, it will often tend to get closer and closer. - the mathematical aspect: this consists of a coherent and rigorous analy­ sis of convergence, with the aid of mathematical tools (these tools are mainly the use of norms for convergence proofs, the use of matrix algebra and so on). One may for example refer to the algorithmic and mathematical aspects of Newton's method in JRn as well as to the QR algorithm for eigenvalues of matrices. These two algorithms seem to me to be the most fascinating algorithms in numerical analysis, since both show a remarkable practical efficiency even though there exist relatively few global convergence results for them.