Dirichlet Forms Methods for Poisson Point Measures and Lévy Processes: With Emphasis on the Creation-Annihilation Techniques

رویکردی ساده شده برای حساب مالیاوین که با معیارهای تصادفی پواسون سازگار شده است در این کتاب توسعه و اعمال شده است. این روش که \"روش ذرات قرض\" نامیده می شود، بر اساس اختلال در موقعیت ذرات است. اندازه‌گیری‌های تصادفی پواسون پدیده‌هایی را توصیف می‌کنند که شامل پرش‌های تصادفی (مثلاً در امور مالی ریاضی) یا توزیع تصادفی ذرات (مانند فیزیک آماری) است. به لطف تئوری اشکال دیریکله، نویسندگان یک ابزار ریاضی را برای یک کلاس کاملاً کلی از اندازه‌گیری‌های تصادفی پواسون توسعه داده‌اند و محاسبات ماتریس‌های مالیاوین توابع پواسون را به طور قابل‌توجهی ساده می‌کنند. این روش باعث ایجاد یک حساب صریح جدید می شود که آنها در مثال های مختلف نشان می دهند: شامل افزودن یک ذره و سپس حذف آن پس از محاسبه گرادیان است. با استفاده از این روش، می‌توان تداوم مطلق توابع پواسون مانند ناحیه‌های لوی، راه‌حل‌های SDE‌های هدایت‌شده با اندازه‌گیری پواسون را ایجاد کرد و با تکرار، منظم بودن قوانین را به دست آورد. نویسندگان همچنین کاربردهایی برای نظریه حساب خطا ارائه می دهند. این کتاب مورد توجه محققان و دانشجویان تحصیلات تکمیلی در زمینه های تحلیل تصادفی و مالی و در حوزه فیزیک آماری خواهد بود. اساتیدی که دوره هایی را در مورد این موضوعات آماده می کنند نیز مفید خواهند بود. پیش نیاز آن دانش تئوری احتمال است.

A simplified approach to Malliavin calculus adapted to Poisson random measures is developed and applied in this book. Called the “lent particle method” it is based on perturbation of the position of particles. Poisson random measures describe phenomena involving random jumps (for instance in mathematical finance) or the random distribution of particles (as in statistical physics). Thanks to the theory of Dirichlet forms, the authors develop a mathematical tool for a quite general class of random Poisson measures and significantly simplify computations of Malliavin matrices of Poisson functionals. The method gives rise to a new explicit calculus that they illustrate on various examples: it consists in adding a particle and then removing it after computing the gradient. Using this method, one can establish absolute continuity of Poisson functionals such as Lévy areas, solutions of SDEs driven by Poisson measure and, by iteration, obtain regularity of laws. The authors also give applications to error calculus theory. This book will be of interest to researchers and graduate students in the fields of stochastic analysis and finance, and in the domain of statistical physics. Professors preparing courses on these topics will also find it useful. The prerequisite is a knowledge of probability theory.