Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen, Band 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen (3. Auflage)

Titelseite......Page 1
Inhaltsverzeichnis......Page 5
Erklärung der Zeichen und Abkürzungen......Page 15
1.1 Bezeichnungen und Veranschaulichung der Differentialgleichung......Page 25
1.2 Existenz und eindeutige Bestimmtheit der Lösungen......Page 26
2.1 Erste Orientierung und Methode der Polygonzüge......Page 27
2.2 Das Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf......Page 28
2.3 Ansetzen einer Potenzreihe......Page 30
2.4 Allgemeinere Reihenentwicklungen......Page 31
2.5 Reihenentwicklung nach einem Parameter......Page 32
2.6 Beziehung zu partiellen Differentialgleichungen......Page 33
2.7 Abschätzungssätze......Page 34
2.8 Verhalten von Lösungen für große x......Page 35
3.1 Über Lösungen und Lösungsmethoden......Page 36
3.2 Reguläre und singuläre Linienelemente : Diskriminantenkurve und singuläre Lösungen......Page 38
4.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variabeln y'=f(x); y'=g(y); y'=f(x)g(y)......Page 39
4.3 Lineare Differentialgleichungen y'+f(x)y = g(x)......Page 40
4.4 Asymptotisches Verhalten der Lösungen linearer Differentialgleichungen......Page 41
c) y'= F(etc.)......Page 43
4.7 Gleichgradige Differentialgleichungen......Page 44
4.9 Allgemeine Riccatische Differentialgleichungen y' = f(x)y²+g(x)y+h(x)......Page 45
4.10 Abelsche Differentialgleichungen erster Art y' = etc.......Page 48
a) etc.......Page 50
b) etc.......Page 51
4.13 y' = f(z, y); g(x,y)+h(x,y)y' = 0; Eulerscher Multiplikator; integrierender Faktor......Page 52
4.14 F(y',y,x) = 0; Integration durch Differentiation......Page 53
4.17 (a) y = g(y'); (b) x = g(y')......Page 54
4.19 D'Alembertsche Differentialgleichungen,y = xf(y')-g(y')......Page 55
5.1 Bezeichnungen und Veranschaulichung der Differentialgleichung......Page 56
5.2 Existenz und eindeutige Bestimmtheit der Lösungen......Page 57
5.4 Charakteristische Funktionen. Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangswerten und von Parametern......Page 58
5.5 Stabilitätsfrallen......Page 59
6.1 Erste Orientierung und Methode der Polygonzüge......Page 61
6.3 Ansetzen einer Potenzreihe oder allgemeinerer ReihenentwickhH1sen......Page 62
6.5 Reduktion des Systems bei Kenntnis von Gleichungen zwischen den Lösungen......Page 63
6.7 Abschätzungssätze......Page 64
6.8 Weitere Lösungsmethoden......Page 65
7.1 Allgemeine dynamische Systeme......Page 66
7.2 Über den Verlauf der Integralkurven für n = 2 in der Nähe eines stationären Punktes......Page 67
7.3 Kriterien für die Art der stationären Punkte......Page 68
8.1 Allgemeine Vorbemerkungen......Page 71
8.2 Existenz- und Eindeutigkeitssätze. Lösungsverfahren......Page 72
8.4 Abschätzungssätze......Page 73
9.1 Eigenschaften der Lösungen. Hauptsysteme von Lösungen......Page 74
9.2 Existenzsitze und Lösungsverfahren......Page 75
9.4 Adjungierte Systeme von Differentialgleichungen......Page 77
9.5 Selbstadjungierte Systeme von Differentialgleichungen......Page 78
9.7 Grundlösungen......Page 80
10.1 Einteilung der singulären Stellen......Page 81
10.2 Schwach singuläre Stellen......Page 82
10.3 Stark singuläre Stellen......Page 84
11. Verhalten der Lösungen für große x......Page 85
12. Systeme, die von einem Parameter abhängen......Page 86
13.1 Homogene Systeme......Page 88
13.2 Al1gemeinere Systeme......Page 89
14. Die explizite Differentialgleichung etc.......Page 90
15.1 Exakte Differentialgleichungen......Page 91
a) etc.; (b) etc.......Page 92
16.2 Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Lösungsverfahren......Page 93
16.4 Reduktion der unhomogenen auf die homogene Differentialgleichung......Page 95
17.1 Eigenschaften der Lösungen und Existenzsätze......Page 96
17.2 Reduktion der Differentialgleichung auf eine solche niedrigerer Ordnung......Page 97
17.4 Grund1ösungen......Page 98
17.6 Lagrangesche Identität; Dirichletsche und Greensche Formeln......Page 100
17.7 Über die Lösungen adjungierter und exakter Differentialgleichungen......Page 101
18.1 Einteilung der singulären SteIlen......Page 102
18.2 Die Stelle x = ksi ist regulär oder schwach singulär......Page 105
18.3 Die Stelle x = ∞ty ist regulär oder schwach singulär......Page 107
18.4 Die Stelle x = ksi ist stark singu1är......Page 108
18.6 Differentialgleichungen, deren Koeffizienten Polynome sind......Page 110
18.7 Periodische Funktionen als Koeffizienten......Page 111
18.8 Doppeltperiodische Funktionen als Koeffizienten......Page 112
18.9 Reelle Veränderliche......Page 113
19.1 Das allgemeine Prinzip......Page 114
19.2 Die Laplace-Transformation......Page 116
19.4 Mellins Transformation......Page 120
19.5 Eulers Transformation......Page 121
19.6 Lösung durch Doppelintegrale......Page 123
20.2 Allgemeinere Funktionen als Koeffizienten......Page 124
20.3 Stetige Funktionen als Koeffizienten......Page 125
21.1 etc.......Page 126
21.2 etc.......Page 127
21.3 etc.......Page 128
22.2 Unhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten......Page 130
22.5 Polynome als Koeffizienten und als Lösungen......Page 132
22.6 Pochhammers Differentialgleichung......Page 133
23.1 Lösungsverfahren für besondere Typen von nichtlinearen Differentialgleichungen......Page 137
23.3 Grenzwertsätze......Page 138
23.4 Ein Oszillationssatz......Page 139
24.1 Allgemeine Bemerkungen......Page 140
24.2 Berechnung der Lösungen, wenn eine Lösung der zugebörigen homogenen Differentialgleichung bekannt ist......Page 141
24.3 Abschätzungssätze......Page 142
25.1 Über Reduktionen der Differentialgleichung......Page 143
25.2 Weitere Zusammenhänge mit anderen Differentialgleichungen . . . 12J 25.3 Kettenbruchentwicklungen für Lösungen......Page 147
25.4 Allgemeines über die NullstelIen der Lösungen. Trennungssätze......Page 148
25.5 Nullstellen und Oszillation der Lösungen in einem endlichen Intervall......Page 150
25.6 Verhalten der Lösungen für x->∞ty......Page 152
25.7 Differentialgleichungen mit singulären Stellen......Page 155
25.8 Näherungslösungen, insbesondere asymptotisohe Lösungen; reelle Veränderliche......Page 157
25.9 Asymptotische Lösungen; komplexe Veränderliche......Page 160
25.10 Genäherte Darstellung der Lösungen von Differentialgleichungen, die von einem Parameter abhängen......Page 161
26. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung......Page 163
28. Numerische Integration: Differentialgleichungen erster Ordnung......Page 164
28.1 Verfahren von Runge, Heun und Kutta......Page 165
28.2 Kombiniertes Interpolations- und Iterationsverfahren......Page 166
28.3 Das Extrapolationsverfahren von Adams......Page 167
28.4 Ergänzungen zum Verfahren von Adams......Page 170
29.1 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung......Page 172
29.2 Runge-Kuttasche Formeln für Differentialgleichungen zweiter Ordnung......Page 173
29.3 Das Verfahren von Adams-Störmer für y" = f(x,y,y')......Page 174
29.4 Das Verfahren von Adams-Störmer für y" = f(x,y)......Page 175
29.5 Das Verfahren von Blaess......Page 176
30. Graphische Integration: Differentialgleichungen erster Ordnung......Page 178
30.1 F(x,y,y') = 0, Festlegung des Richtungsfeldes......Page 180
30.2 Einschaltung über die graphische Integration einer Funktion y = f(x)......Page 181
30.4 Verfahren der eingeschalteten Halbschritte......Page 182
30.6 Extrapolationsverfahren......Page 183
30.7 Verwendung von Nomogrammen nach H. Heinrich......Page 184
30.9 Weitere Verfahren......Page 186
31.2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung: ein erstes Näherungsverfahren......Page 187
31.3 Das Verfahren der wiederholten Integration (Trapez- oder Seilpolygonverfahren)......Page 188
31.4 Verwendung von Nomogrammen......Page 191
31.5 Integration mittels Krümmungskreisen nach Lord Kelvin......Page 194
31.6 Das Linienbildverfahren von Meissner......Page 195
31.7 Grammels Orthopolarenverfahren......Page 196
31.8 Graphische Verwendung der Taylorschen Entwicklung......Page 201
31.9 Das Verfahren von E. Braun......Page 202
32. Apparate zur Lösung von Differentialgleichungen......Page 203
1.1 Bezeichnungen und allgemeine Vorbemerkungen......Page 206
1.2 Bedingungen für die Lösbarkeit der Randwertaufgabe......Page 208
1.3 Die adjungierte Randwertaufgabe......Page 210
1.4 Selbstadjungierte Randwertaufgaben......Page 211
1.5 Die Greensche Funktion......Page 212
1.7 Verallgemeinerte Greensche Funktionen......Page 214
2.1 Eigenwerte und Eigenfunktionen; die charakteristische Determinante Delta(lambda)......Page 217
2.2 Die adjungierte Eigenwertaufgabe und die Greensche Resolvente; vollständiges Biorthogonalsystem......Page 218
2.3 Genormte Randbedingungen; reguläre Eigenwertaufgaben......Page 220
2.4 Die Eigenwerte bei regulären und irregulären Eigenwertaufgaben......Page 222
2.5 Der Ansatz zur Entwicklung gegebener Funktionen nach Eigenfunktionen; Entwicklungssätze für reguläre und irreguläre Eigenwertaufgaben......Page 223
2.6 Selbstadjungierte normale Eigenwertaufgaben......Page 224
2.7 Einschaltung über Fredholmsche Integralgleichungen......Page 227
2.8 Beziehung zwischen Randwertaufgaben und Fredholmschen Integralgleichungen......Page 231
2.9 Beziehung zwischen Eigenwertaufgaben und Fredholmschen Integralgleichungen. Folgerungen für das Eigenwert- und Entwicklungsproblem......Page 232
2.10 Einschaltung über Volterrasche Integralgleichungen......Page 234
2.11 Beziehung zwischen Randwertaufgaben und Volterraschen Integralgleichungen......Page 235
2.12 Beziehung zwischen Eigenwertaufgaben und Volterraschen Integralgleichungen......Page 236
2.13 Beziehung zwischen Eigenwertaufgaben und Variationsrechnung......Page 238
a) Rayleighs Prinzip......Page 240
b) Ein zweites Variationsprinzip......Page 241
2.15 Entwicklungen nach Eigenfunktionen......Page 242
2.16 Unabhängige Festlegung der Eigenwerte nach Courant......Page 243
3.1 Das Näherungsverfahren von Ritz-Galerkin......Page 244
3.2 Das Näherungsverfahren von Grammel......Page 246
3.3 Die Lösung unhomogener Randwertaufgaben nach Ritz-Galerkin......Page 247
3.4 Das Iterationsverfahren......Page 248
3.5 Genäherte Lösung von Rand- und Eigenwertaufgaben mittels Differenzenrechnung......Page 250
3.6 Störungsrechnung......Page 252
3.7 Weitere Abschätzungen für die Eigenwerte......Page 254
c) Einschliessungssatz von Temple......Page 255
f) Untere Schranke nach Temple-Bickley......Page 256
h) Untere Schranken für die höheren Eigenwerte nach Trefftz-Willers......Page 257
d) Übergang zu einer Differenzengleichung......Page 258
g) Interpolationsverfahren......Page 259
4.1 Formulierung der Aufgabe......Page 260
4.2 Vorbemerkungen allgemeiner Art......Page 261
4.3 Normale Eigenwertaufgaben......Page 262
4.4 Definite Eigenwertaufgaben......Page 263
4.5 Entwicklungen nach Eigenfunktionen......Page 265
5. Rand- und Nebenbedingungen allgemeinerer Art......Page 268
6.1 Bezeichnungen und Lösbarkfeitsbedingungen......Page 270
6.2 Die adjungierte Randwertaufgabe......Page 271
6.4 Randwertaufgaben, die einen Parameter enthalten; Eigenwertaufgaben......Page 273
6.5 Selbstadjungierte Eigenwertaufgaben......Page 274
7.1 Lineare Aufgaben......Page 277
7.2 Nichtlineare Aufgaben......Page 278
8.1 Allgemeine Bemerkungen......Page 279
8.3 Abschätzungen von Lösungen der Randwertaufgabe erster Art......Page 280
8.5 y"+a²y = g(x); periodische Lösungen......Page 281
9.1 Überblick über die behandelten Aufgaben......Page 282
al) Sturmsche Eigenwertaufgabe......Page 284
a2) Allgemeine selbstadjungierte Randbedingungen......Page 287
9.3 y'=F(x,l)z, z' = -G(x,l)y mit selbstadjungierten Randbedingungen......Page 288
a) Sturmsche Randbedingungen......Page 289
b) Allgemeine selbstadjungierte Randbedingungen......Page 290
9.4 Eigenwertaufgaben und Variationsprinzip......Page 291
9.5 Zur praktischen Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen......Page 293
a) Reguläre und irreguläre Eigenwertaufgaben......Page 294
b) y'=F(x,l)z, z' = -G(x,l)y, Existenz von Eigenwerten......Page 295
a) Polynome als Lösungen......Page 296
b) Sonstige Nebenbedingungen......Page 297
9.9 Differentialgleichungen mit singulären Stellen in den Randpunkten......Page 298
9.10 Unbegrenzte Intervalle......Page 300
10.1 Randwertaufgaben für ein endliches Intervall......Page 301
10.2 Randwertaufgaben für ein einseitig begrenztes Intervall......Page 304
10.3 Eigenwertaufgaben......Page 305
11.1 Lineare Eigenwertaufgaben dritter Ordnung......Page 306
11.2 Lineare Eigenwertaufgaben vierter Ordnung......Page 307
11.3 Lineare Eigenwertaufgaben für Systeme von zwi Differentialgleichungen zweiter Ordnung......Page 310
11.5 Eigenwertaufgaben dritter bis achter Ordnung......Page 311
Vorbemerkungen......Page 313
1-367 Differentialgleichungen ersten Grades in y'......Page 317
368-517 Differentialgleichungen zweiten Grades in y'......Page 379
518-544 Differentialgleichungen dritten Grades in y'......Page 408
545-576 Differentialgleiohungen allgemeinerer Art......Page 413
1-90 ay"+.........Page 420
91-145 (ax+b)y"+.........Page 446
146-221 x²y"+.........Page 458
222-250 (x²+-a²)y"+.........Page 486
251-303 (ax²+bx+c)y"+.........Page 487
304-341 (ax³+...)y"+.........Page 506
342-396 (ax⁴+...)y"+.........Page 513
397-410 P(x)y"+...; P ein Polynom vom Grad >=5......Page 521
411-445 Rest......Page 527
3. Lineare DüferentialgleichungeD dritter Ordnung......Page 532
4. Lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung......Page 548
5. Lineare Düferentialgleichungen fünfter und höherer Ordnung......Page 562
1-72 ay" = F(x,y,y')......Page 566
73-103 f(x)y" = F(x,y,y')......Page 583
104-187 f(x)yy" = F(x,y,y')......Page 593
188-225 f(x,y)y" = F(x,y,y')......Page 610
226-249 Rest......Page 618
7. Nichtlineare Differentialgleichungen dritter und höherer Ordnung......Page 624
1-18 Systeme von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten etc.......Page 630
19-25 Systeme von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung, deren Koeffizienten nicht konstant sind......Page 635
26-43 Systeme von zwei Differentialgleichungen von höherer als ersterOrdnung......Page 637
44-57 Systeme von mehr als zwei Differentialgleichungen......Page 641
1-17 Systeme von zwei Differentialgleichungen......Page 645
18-29 Systeme von mehr als zwei Differentialgleichungen......Page 650
10. Funktional-Differentialgleichungen......Page 654
Nachträge......Page 661
Register......Page 685