Differentialgeometrie von Kurven und Flächen

دو راه برای بررسی هندسه دیفرانسیل منحنی ها و سطوح وجود دارد. هندسه دیفرانسیل کلاسیکی که می توان آن را هندسه دیفرانسیل کلاسیک نامید، همراه با آغاز حساب دیفرانسیل و انتگرال پدید آمد. به طور کلی، هندسه دیفرانسیل کلاسیک خواص محلی منحنی ها و سطوح را مطالعه می کند. منظور ما از خصوصیات محلی آنهایی است که فقط به رفتار منحنی یا سطح در مجاورت یک نقطه بستگی دارند. روش‌هایی که برای مطالعه چنین ویژگی‌هایی مناسب هستند، روش‌های حساب دیفرانسیل هستند. به همین دلیل، منحنی ها و سطوح مورد مطالعه در هندسه دیفرانسیل با توابعی که از یک کلاس تمایزپذیری معین هستند، تعریف می شوند. رویکرد دیگر به اصطلاح هندسه دیفرانسیل جهانی است. در اینجا تأثیر خواص محلی بر رفتار کل منحنی یا سطح بررسی می شود. جالب ترین و معرف بخش هندسه دیفرانسیل کلاسیک احتمالاً مطالعه سطوح است. با این حال، هنگام مطالعه سطوح، حدود 10 هزار ویژگی کلی منحنی ها به طور طبیعی ظاهر می شود. به همین دلیل است که از این فصل اول برای بحث مختصر در مورد منحنی ها استفاده می کنیم.

Es gibt in der Differentialgeometrie von Kurven und FJachen zwei Betrachtungsweisen. Die eine, die man klassische Differentialgeometrie nennen konnte, entstand zusammen mit den Anfangen der Differential-und Integralrechnung. Grob gesagt studiert die klassische Differentialgeometrie lokale Eigenschaften von Kurven und FHichen. Dabei verstehen wir unter lokalen Eigenschaften solche, die nur vom Verhalten der Kurve oder Flache in der Umgebung eines Punktes abhiingen. Die Methoden, die sich als fUr das Studium solcher Eigenschaften geeignet erwiesen haben, sind die Methoden der Differentialrechnung. Aus diesem Grund sind die in der Differentialgeometrie untersuchten Kurven und Flachen durch Funktionen definiert, die von einer gewissen Differenzierbarkeitsklasse sind. Die andere Betrachtungsweise ist die sogenannte globale Differentialgeometrie. Hierbei untersucht man den EinfluB lokaler Eigenschaften auf das Verhalten der gesamten Kurve oder Flache. Der interessanteste und reprasentativste Teil der klassischen Differentialgeometrie ist wohl die Untersuchung von Flachen. Beim Studium von Flachen treten jedoch in nattirlicher Weise einige 10k ale Eigenschaften von Kurven auf. Deshalb benutzen wir dieses erste Kapi­ tel, urn kurz auf Kurven einzugehen.