Differentialgeometrie und homogene Räume

هدف این کتاب ارائه مهم‌ترین مبانی هندسه ریمانی با تمامی نتایج موقت لازم در محدوده یک سخنرانی دو ترم است و کلاس نمونه مرکزی فضاهای همگن را با جزئیات ارائه می‌کند. فضاهای همگن منیفولدهای ریمانی هستند که گروه ایزومتری آنها به صورت گذرا روی آنها عمل می کند. از طرف دیگر، آنها را می توان به عنوان ضرایب گروه های Lie توسط زیر گروه ها توصیف کرد. فضاهای همگن نقش مهمی در بسیاری از زمینه های ریاضیات دارند، به عنوان مثال به عنوان فضاهای مدولی که نقاط آنها راه حل های یک مسئله ریاضی را پارامتری می کنند. فضاهای متقارن، یعنی فضاهایی که اجازه انعکاس نقطه ای را در هر نقطه می دهند، به عنوان یک مورد خاص در فصلی جداگانه بررسی می شوند. در فصل آخر، به عنوان یک کاربرد مهم هندسه ریمانی، برخی از مبانی نظریه نسبیت عام به صورت بدیهی استنباط شده است.

Das Ziel dieses Buches ist, im Umfang einer zweisemestrigen Vorlesung die wichtigsten Grundlagen der Riemannschen Geometrie mit allen notwendigen Zwischenresultaten bereitzustellen und die zentrale Beispielklasse der homogenen Räume ausführlich darzustellen. Homogene Räume sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten, deren Isometriegruppe transitiv auf ihnen operiert. Alternativ lassen sie sich als Quotienten von Lie-Gruppen durch Untergruppen beschreiben. Homogene Räume spielen in vielen Gebieten der Mathematik eine wichtige Rolle, etwa als Modulräume, deren Punkte Lösungen eines mathematischen Problems parametrisieren. Symmetrische Räume, d.h. Räume, die an jedem Punkt eine Punktspiegelung erlauben, werden als Spezialfall in einem eigenen Kapitel behandelt. Im letzten Kapitel werden als eine wichtige Anwendung der Riemannschen Geometrie einige Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie axiomatisch deduziert.