Differential Geometry of Curves and Surfaces

این یک کتاب درسی در مورد هندسه دیفرانسیل است که برای دوره های مختلف در این زمینه مناسب است. برای خوانندگانی که به دنبال یک متن ابتدایی هستند، پیش نیازها حداقل است و شامل مثال‌ها و مراحل میانی فراوانی در اثبات است، در حالی که دعوتی برای برنامه‌های کاربردی بیشتر و موضوعات پیشرفته‌تر است. برای خوانندگان مقید به تحصیلات تکمیلی در ریاضی یا فیزیک، این یک توسعه واضح، مختصر و دقیق از موضوع شامل قضایای عمیق جهانی است. برای استفاده همه خوانندگان، نویسنده از تکنیک‌های مختلفی استفاده می‌کند تا ایده‌های انتزاعی دشوار را در اینجا قابل درک‌تر و جذاب‌تر نشان دهد.
بیش از 300 تصویر رنگی ریاضیات را زنده می‌کنند و مفاهیم را فوراً به روش‌هایی روشن می‌کنند که مقیاس خاکستری نمی‌تواند. تعاریف جعبه سبز و قضایای جعبه بنفش به سازماندهی بصری محتوای ریاضی کمک می کند. رنگ حتی در متن برای برجسته کردن روابط منطقی استفاده می‌شود.
برنامه‌ها فراوانند! مطالعه توابع هم‌نقل و هم‌آرئال در کاربرد آن در نقشه‌نگاری استوار است. فرگشت‌ها، چرخه‌ها و سیکلوئیدها از طریق داستان جذاب کریستیان هویگنز معرفی می‌شوند: او در تلاش برای حل مسئله طول جغرافیایی معروف با یک ساعت آونگی که از نظر ریاضی بهبود یافته بود، ریاضیاتی را اختراع کرد که بعداً در اپتیک و چرخ دنده‌ها به کار رفت. قضیه Clairaut به عنوان یک قانون بقای حرکت زاویه ای ارائه شده است. قضیه گرین ابزاری به نام پلان متر را ممکن می سازد. آونگ فوکو به فرد کمک می کند یک میدان برداری موازی را در طول عرض جغرافیایی از زمین تجسم کند. حتی بهتر از آن، ارابه ای که به سمت جنوب است به فرد کمک می کند یک میدان برداری موازی را در امتداد هر منحنی در هر سطحی تجسم کند.
در حقیقت، عمیق ترین کاربرد هندسه دیفرانسیل در فیزیک مدرن است که خارج از محدوده این کتاب است. GPS در هر خودرویی بدون نسبیت عام که از طریق زبان هندسه دیفرانسیل رسمیت یافته است، کار نمی کند. در سراسر این کتاب، کاربردها، استعاره ها و تجسم ها ابزارهایی هستند که محتویات ریاضی دقیق را برانگیخته و شفاف می کنند، اما هرگز جایگزین آن نمی شوند.

This is a textbook on differential geometry well-suited to a variety of courses on this topic. For readers seeking an elementary text, the prerequisites are minimal and include plenty of examples and intermediate steps within proofs, while providing an invitation to more excursive applications and advanced topics. For readers bound for graduate school in math or physics, this is a clear, concise, rigorous development of the topic including the deep global theorems. For the benefit of all readers, the author employs various techniques to render the difficult abstract ideas herein more understandable and engaging.
Over 300 color illustrations bring the mathematics to life, instantly clarifying concepts in ways that grayscale could not. Green-boxed definitions and purple-boxed theorems help to visually organize the mathematical content. Color is even used within the text to highlight logical relationships.
Applications abound! The study of conformal and equiareal functions is grounded in its application to cartography. Evolutes, involutes and cycloids are introduced through Christiaan Huygens' fascinating story: in attempting to solve the famous longitude problem with a mathematically-improved pendulum clock, he invented mathematics that would later be applied to optics and gears. Clairaut’s Theorem is presented as a conservation law for angular momentum. Green’s Theorem makes possible a drafting tool called a planimeter. Foucault’s Pendulum helps one visualize a parallel vector field along a latitude of the earth. Even better, a south-pointing chariot helps one visualize a parallel vector field along any curve in any surface.
In truth, the most profound application of differential geometry is to modern physics, which is beyond the scope of this book. The GPS in any car wouldn’t work without general relativity, formalized through the language of differential geometry. Throughout this book, applications, metaphors and visualizations are tools that motivate and clarify the rigorous mathematical content, but never replace it.