Differential Geometry of Curves and Surfaces

این کتاب انتشار پس از مرگ کتاب کلاسیک پروفسور شوشیچی کوبایاشی است که در U.C. برکلی به مدت 50 سال، به تازگی توسط اریکو شینوزاکی ناگومو و ماکیکو سومی تاناکا ترجمه شده است.

پنج فصل وجود دارد: 1. منحنی های سطحی و منحنی های فضایی. 2. نظریه محلی سطوح در فضا. 3. هندسه سطوح. 4. قضیه گاوس-بونت. و 5. حداقل سطوح.

فصل 1 ویژگی های محلی و جهانی منحنی ها و منحنی های مسطح در فضا را مورد بحث قرار می دهد. فصل 2 به خواص محلی سطوح در فضای اقلیدسی سه بعدی می پردازد. دو نوع انحنا - انحنای گاوسی K و انحنای متوسط ​​H - معرفی شده‌اند. روش قاب های متحرک، یک تکنیک استاندارد در هندسه دیفرانسیل، در زمینه یک سطح در فضای اقلیدسی سه بعدی معرفی شده است. در فصل 3، متریک ریمانی روی یک سطح معرفی می‌شود و ویژگی‌هایی که تنها با اولین شکل اساسی تعیین می‌شوند، مورد بحث قرار می‌گیرند. مفهوم ژئودزیک معرفی شده در فصل 2 به طور گسترده مورد بحث قرار گرفته است و چندین نمونه از ژئودزیک همراه با تصاویر ارائه شده است. فصل 4 با اثبات ساده و ظریف قضیه استوکس برای یک دامنه شروع می شود. سپس قضیه گاوس-بونت، موضوع اصلی این کتاب، به طور مفصل مورد بحث قرار گرفته است. قضیه زیباترین و عمیق ترین نتیجه در هندسه دیفرانسیل است. این یک رابطه بین انتگرال انحنای گاوسی بر روی یک سطح بسته جهت داده شده S و توپولوژی S بر حسب عدد اویلر آن به دست می دهد χ(S). در اینجا دوباره، تصاویر بسیاری برای تسهیل درک خواننده ارائه شده است. فصل 5، حداقل سطوح، به دانش ابتدایی در مورد تجزیه و تحلیل پیچیده نیاز دارد. با این حال، نویسنده ماهیت مقدماتی این کتاب را حفظ کرده و بر توضیحات دقیق نمونه‌هایی از حداقل سطوح ارائه شده در فصل 2 تمرکز کرده است.

This book is a posthumous publication of a classic by Prof. Shoshichi Kobayashi, who taught at U.C. Berkeley for 50 years, recently translated by Eriko Shinozaki Nagumo and Makiko Sumi Tanaka.

There are five chapters: 1. Plane Curves and Space Curves; 2. Local Theory of Surfaces in Space; 3. Geometry of Surfaces; 4. Gauss–Bonnet Theorem; and 5. Minimal Surfaces.

Chapter 1 discusses local and global properties of planar curves and curves in space. Chapter 2 deals with local properties of surfaces in 3-dimensional Euclidean space. Two types of curvatures — the Gaussian curvature K and the mean curvature H —are introduced. The method of the moving frames, a standard technique in differential geometry, is introduced in the context of a surface in 3-dimensional Euclidean space. In Chapter 3, the Riemannian metric on a surface is introduced and properties determined only by the first fundamental form are discussed. The concept of a geodesic introduced in Chapter 2 is extensively discussed, and several examples of geodesics are presented with illustrations. Chapter 4 starts with a simple and elegant proof of Stokes’ theorem for a domain. Then the Gauss–Bonnettheorem, the major topic of this book, is discussed at great length. The theorem is a most beautiful and deep result in differential geometry. It yields a relation between the integral of the Gaussian curvature over a given oriented closed surface S and the topology of S in terms of its Euler numberχ(S). Here again, many illustrations are provided to facilitate the reader’s understanding. Chapter 5, Minimal Surfaces, requires some elementary knowledge of complex analysis. However, the author retained the introductory nature of this book and focused on detailed explanations of the examples of minimal surfaces given in Chapter 2.