Differential Forms: A Heuristic Introduction

دانش عملی اشکال دیفرانسیل آنقدر محاسبات و پیشرفت های آن را روشن می کند که نباید در برنامه درسی خیلی به تأخیر بیفتد. از سوی دیگر، درمان سیستماتیک اشکال دیفرانسیل نیاز به یک دستگاه توپولوژی و جبر دارد که برای دانشجویان مبتدی سنگین است. در سالهای اخیر متون متعددی در مورد حساب پیشرفته با استفاده از فرم های دیفرانسیل ظاهر شده است. ما ممکن است به عنوان نماینده انواع رویکردها از کتاب های فلمینگ [2]، (1) نیکرسون-اسپنسر-استینرود [3] و اسپیواک [6] یاد کنیم. . این متون علیرغم تطبیق آنها با معصومیت خوانندگانشان، نمی توانند بار دستگاه را دقیقاً کم کنند، زیرا اندازه ای کم و بیش کامل از حقیقت را در سطحی از کلیت در یک توضیح رسمی دقیق ارائه می دهند. آنجا. در نتیجه شکافی بین متون از این نوع و محاسبات پیشرفته سنتی وجود دارد. اخیراً به مناسبت ارائه یک دوره ابتدایی محاسبات پیشرفته، آزمایش تلاش برای ارائه تکنیک اشکال دیفرانسیل را با حداقل دستگاه و پیش نیازهای بسیار کم انجام دادیم. این یادداشت ها نتیجه آن آزمایش است. نمایش ما در نظر گرفته شده است که اکتشافی و ملموس باشد. به طور کلی، ما یک شکل دیفرانسیل را به عنوان یک انتگرال چند بعدی می گیریم، چنین چیزی تابع قوانینی است که تغییر محاسبات متغیر را خودکار می کند. دامنه های ادغام (منیفولدها) به صراحت \"سطوح\" در فضای اقلیدسی داده شده است. تمایز فرم ها (خارجی (1) اعداد داخل پرانتز به کتابشناسی در پایان مراجعه کنید.

A working knowledge of differential forms so strongly illuminates the calculus and its developments that it ought not be too long delayed in the curriculum. On the other hand, the systematic treatment of differential forms requires an apparatus of topology and algebra which is heavy for beginning undergraduates. Several texts on advanced calculus using differential forms have appeared in recent years. We may cite as representative of the variety of approaches the books of Fleming [2], (1) Nickerson-Spencer-Steenrod [3], and Spivak [6]. . Despite their accommodation to the innocence of their readers, these texts cannot lighten the burden of apparatus exactly because they offer a more or less full measure of the truth at some level of generality in a formally precise exposition. There. is consequently a gap between texts of this type and the traditional advanced calculus. Recently, on the occasion of offering a beginning course of advanced calculus, we undertook the expe- ment of attempting to present the technique of differential forms with minimal apparatus and very few prerequisites. These notes are the result of that experiment. Our exposition is intended to be heuristic and concrete. Roughly speaking, we take a differential form to be a multi-dimensional integrand, such a thing being subject to rules making change-of-variable calculations automatic. The domains of integration (manifolds) are explicitly given "surfaces" in Euclidean space. The differentiation of forms (exterior (1) Numbers in brackets refer to the Bibliography at the end.