Differential and Riemannian Manifolds

این سومین نسخه از کتاب منیفولدهای دیفرانسیل است. اولین نسخه در سال 1962 ظاهر شد و در همان آغاز دوره ای از گسترش گسترده موضوع نوشته شد. در آن زمان، به دلایل متعدد، هیچ کتاب رضایت بخشی برای مبانی موضوع پیدا نکردم. من کتاب را در سال 1971 گسترش دادم و امروز هم آن را بیشتر گسترش می دهم. به طور خاص، من سه فصل در مورد هندسه ریمانی و شبه ریمانی، یعنی مشتقات کوواریانت، انحنا، و برخی کاربردها تا قضایای هاپف-رینو و هادامارد-کارتان، و همچنین برخی از محاسبات تغییرات و کاربردها در فرم های حجمی را اضافه کرده ام. من بخش های اسپری ها را بازنویسی کرده ام و مثال های بیشتری از استفاده از قضیه استوکس آورده ام. من همچنین ارجاعات زیادی به ادبیات ارائه کرده ام، همه اینها برای گسترش چشم انداز کتاب، که امیدوارم بتوان از آن برای یک دوره عمومی که به جهات مختلف منتهی می شود، استفاده کرد. کتاب حاضر هنوز نیازهای قدیمی را برآورده می کند، اما نیازهای جدید را برآورده می کند. در ابتدایی‌ترین سطح، کتاب مقدمه‌ای بر مفاهیم پایه‌ای که در توپولوژی دیفرانسیل، هندسه دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل استفاده می‌شوند، ارائه می‌کند. در توپولوژی دیفرانسیل، به عنوان مثال کلاس های هموتوپی نقشه ها و امکان یافتن نقشه های قابل تمایز مناسب در آنها (غوطه وری، تعبیه، ایزومورفیسم و ​​غیره) مطالعه می شود.

This is the third version of a book on differential manifolds. The first version appeared in 1962, and was written at the very beginning of a period of great expansion of the subject. At the time, I found no satisfactory book for the foundations of the subject, for multiple reasons. I expanded the book in 1971, and I expand it still further today. Specifically, I have added three chapters on Riemannian and pseudo Riemannian geometry, that is, covariant derivatives, curvature, and some applications up to the Hopf-Rinow and Hadamard-Cartan theorems, as well as some calculus of variations and applications to volume forms. I have rewritten the sections on sprays, and I have given more examples of the use of Stokes' theorem. I have also given many more references to the literature, all of this to broaden the perspective of the book, which I hope can be used among things for a general course leading into many directions. The present book still meets the old needs, but fulfills new ones. At the most basic level, the book gives an introduction to the basic concepts which are used in differential topology, differential geometry, and differential equations. In differential topology, one studies for instance homotopy classes of maps and the possibility of finding suitable differentiable maps in them (immersions, embeddings, isomorphisms, etc.).