Die innere Geometrie der metrischen Räume

هندسه داخلی یک سطح، تئوری آن خصوصیاتی است که در تصاویر ایزومتریک بدون تغییر باقی می مانند، یعنی فقط به اولین شکل اساسی آن بستگی دارد. با کشف اینکه حاصل ضرب شعاع اصلی انحنای یک سطح یک متغیر ایزومتریک است، توسط C. F. GAUSS تأسیس شد. B. RIEMANN این نظریه را در تز توانبخشی خود به ابعاد بیشتر و در عین حال به منیفولدهای انتزاعی گسترش داد. در حالی که در ابتدا فقط مطالعه چنین منیفولدهایی را مد نظر قرار دادیم که عنصر قوس آنها با ریشه دوم یک فرم دیفرانسیل درجه دوم به دست می‌آید، پی. ریمان تشخیص داده بود. از آنجا که تحقیقات کلاسیک J. HADAMARD بر روی سطوح با انحنای منفی ثابت و توسط D. HILBERT در مورد وجود اکستریمال ها در مسائل تغییرات، به طور فزاینده ای روشن شده است که بخش بزرگی از روش ها، به ویژه آنهایی که در هندسه دیفرانسیل توسعه یافته اند یک مقیاس بزرگ فقط به ساختار توپولوژیکی و متریک منیفولدها نیاز دارد، اما به ساختار تمایزپذیری آنها نیاز ندارد. مفهوم فضای متریک ایجاد شده توسط FREchET امکان قرار دادن هندسه درونی را بر مبنایی عاری از الزامات تمایزپذیری فراهم می کند. در ابتدا، با این حال، توپولوژی فضاهای متریک در پیش زمینه مورد توجه قرار داشت. فقط با K. MENGER یک مطالعه سیستماتیک از متغیرهای ایزومتریک آغاز شد. در این میان، ادبیات گسترده ای پدید آمده است. نتایج اصلی در سه کتاب A.D. ALEXANDROW [6J, L.M. BLuMENTHAL [1J و H.

Die innere Geometrie einer Fläche ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungeändert bleiben, also nur von ihrer ersten Fundamentalform abhängen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begründet, daß das Produkt der Hauptkrümmungsradien einer Fläche eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr­ dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. Während man zunächst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all­ gemeinen Bogenelementes, eine Möglichkeit, die bereits B. RIEMANN erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD über Flächen konstanter negativer Krümmung und von D. HILBERT über die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, daß ein großer Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Großen entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be­ nötigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes ermöglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits­ voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunächst stand jedoch die Topologie der metrischen Räume im Vordergrund des Interesses. Erst mit K. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei Büchern von A. D. ALEXANDROW[6J, L. M. BLuMENTHAL [1J und H.