Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger

Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger......Page 5
Inhaltsverzeichnis......Page 7
Vorwort......Page 11
1.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente......Page 13
1.2.1 Beispiel 1......Page 16
1.2.2 Beispiel 2......Page 17
2.1.1 Die Grundzüge der Methode......Page 19
2.1.2 Ein erstes Beispiel und eine theoretische Schwierigkeit......Page 22
2.1.3 Die Lösung: Sobolev-Räume......Page 24
2.1.4 Das erste Beispiel (Fortsetzung)......Page 29
2.1.5 Präzisierung der Grundzüge der Methode......Page 30
2.1.6 Beispiele von finiten Elementen......Page 38
2.2.1 Elementmatrizen......Page 48
2.2.2 Die Elementmatrix für eine spezielle Bilinearform und Dreieckelemente vom Typ 1......Page 49
2.2.3 Die Elementmatrix für Dreieckelemente vom Typ 2......Page 55
2.2.4 Die Elementmatrix für Rechteckelemente vom Typ 1bzw. bilineare Viereckelemente......Page 57
2.2.5 Die Elementmatrix für den Laplace-Operator mit Tetraederelementen......Page 59
2.2.6 Elementmatrix für den Laplace-Operatormit trilinearen Quaderelementen......Page 60
3.1 Direkte oder iterative Verfahren?......Page 63
3.2.1 Der Gaußsche Algorithmus......Page 65
3.2.2 Symmetrische Matrizen. Das Cholesky-Verfahren......Page 70
3.2.3 Weitere direkte Verfahren......Page 72
3.3.1 Allgemeine Bemerkungen......Page 77
3.3.2 Das Jacobi-Verfahren, das Gauß-Seidel-Verfahrenund das Verfahren der sukzessiven Überrelaxation (SOR)......Page 79
3.3.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (CG)......Page 83
3.3.4 Vorkonditionierte CG-Verfahren (PCG)......Page 87
3.3.5 Mehrgitterverfahren......Page 92
4.1 Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenzproblematik......Page 97
4.2.1 Zurückführung des Konvergenzproblemsauf ein Approximationsproblem......Page 98
4.2.2 Die Approximation durch stückweise lineare Funktionen......Page 99
4.2.3 Fehlerabschätzung für Dreieckelemente vom Typ 1......Page 109
4.3 Zusammenfassung der Resultate......Page 111
5.1 Allgemeine Bemerkungen......Page 119
5.2 Der Quadraturfehler für lineare Elemente......Page 120
5.3 Eine Übersicht: passende Integrationsformeln......Page 124
6.1 Approximation des Gebietes  durch ein Polygon......Page 133
6.2 Isoparametrische Elemente......Page 136
6.3 Randapproximation mit Hilfe isoparametrischer quadratischer Elemente......Page 140
7.1 Ein Strömungsproblem (Stokes-Problem)......Page 143
7.2 Laplace-Gleichung......Page 147
7.3.1 Stetiges und diskretes Problem......Page 152
7.3.2 Formulierung als gemischtes Problem......Page 154
7.4 Lösung der entstehenden Gleichungssysteme......Page 158
8.1.1 Diskretes Problem......Page 163
8.1.2 Konvergenzproblem......Page 168
8.1.3 Beispiele nichtkonformer finiter Dreieck- und Rechteckelemente......Page 170
8.2.1 Stetiges und diskretes Problem......Page 176
8.2.2 Beispiele nichtkonformer finiter Dreieck- und Rechteckelemente......Page 178
8.3 Stokes-Problem......Page 184
9.1 Das stetige, das semidiskrete und das diskrete Problem......Page 189
9.2 Numerische Integration von Anfangswertaufgaben: eine Übersicht......Page 191
9.3 Die Diskretisierung des semidiskreten Problems mit dem -Schema......Page 199
9.4 Eine Gesamtfehlerabschätzung für das -Schema......Page 201
10.1 Erzeugung und Verfeinerung von Dreiecksgittern......Page 205
10.2 Fehlerschätzung und Gittersteuerung......Page 209
10.2.1 Residuale und zielorientierte Fehlerschätzer......Page 210
10.2.2 Schätzer, basierend auf Superkonvergenz und Mittelung......Page 213
Anhang A Hinweise auf Software und ein Beispiel......Page 217
A.1 Notwendige Files für das MATLAB-Programm fem2d......Page 218
A.2 Einige numerische Ergebnisse......Page 221
Literaturnachweis......Page 225
Index......Page 229