Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen

کتاب با گردآوری دقیق مبانی لازم از جبر کلاسیک، نظریه توابع جبری و نظریه اعداد جبری آغاز می شود. بخش اول زیر به قضایای جمع، ضرب و تقسیم برای هر دو توابع بیضوی وایرشتراسی و ژاکوبین می پردازد. نویسنده توجه ویژه ای به معادلات تقسیم ویژه دارد که توسط زیر مجموعه های تابع Weierstrass ℘ برآورده می شود.

بخش دوم نیمی از حجم را به خود اختصاص می دهد. آن را به شرح مفصلی از نظریه تبدیل توابع بیضوی اختصاص داده است. این یک نظریه چند وجهی است که در یک سوم پایانی قرن نوزدهم به عنوان بخشی از توسعه نظریه توابع مدولار بیضوی توسط کلاین در اینجا ارائه شد. "چند ضلعی کلاس" فریک که رابطه بین توابع بیضوی و نظریه اشکال درجه دوم باینری را آشکار می کند، ثابت می کند که کمکی به نظریه تبدیل است. مثال‌های متعدد ملاحظات نظری را توضیح می‌دهند.

Das Buch beginnt mit einer ausführlichen Zusammenstellung der nötigen Grundlagen aus der klassischen Algebra, der Theorie der algebraischen Funktionen und der algebraischen Zahlentheorie. Der folgende erste Abschnitt behandelt die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze sowohl für die Weierstraßschen als auch für die Jacobischen elliptischen Funktionen. Besondere Aufmerksamkeit widmet der Verfasser den speziellen Teilungsgleichungen, denen die Teilwerke der Weierstraßschen ℘-Funktion genügen.

Der zweite Abschnitt nimmt die Hälfte des Bandes in Anspruch; er ist einer detaillierten Ausarbeitung der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen gewidmet. Hierbei handelt es sich um eine facettenreiche Theorie, die im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts im Rahmen der Herausbildung der Theorie der elliptischen Modulfunktionen durch Klein ihre hier niedergelegte Form gewonnen hat. Als Hilfsmittel für die Transformationstheorie erweist sich das Frickesche „Klassenpolygon“, das die Beziehung der elliptischen Funktionen zur Theorie der binären quadratischen Formen offen legt. Zahlreiche Beispiele erläutern die theoretischen Betrachtungen.