Deterministic Chaos in Infinite Quantum Systems

هدف این جلد ارائه شرح مفصلی از مجموعه ای از نتایج مربوط به برخی از سؤالات ارگودیک مکانیک کوانتومی است که در شش سال گذشته پس از فرمول بندی یک تعمیم یافته در آنتروپی کولموگروف-سینایی توسط A.Connes مورد بررسی قرار گرفته است. ، H.Narnhofer و W.Thirring. ergodicity و اختلاط کلاسیک موضوعات کاملاً توسعه یافته فیزیک ریاضی هستند که با پایین ترین سطوح در سلسله مراتبی از رفتارهای تصادفی فزاینده سر و کار دارند و به اصطلاح سیستم های برنولی در راس آن ساختاری را نشان می دهند که آنها را به عنوان سیستم های Kolmogorov (K-) مشخص می کند. به نظر می رسد نه تنها معقول، بلکه اجتناب ناپذیر است که از نظریه ارگودیک کلاسیک به عنوان راهنمای مطالعه رفتارهای ارگودیک سیستم های کوانتومی استفاده شود. سوال این است که سیستم های کوانتومی چه نوع رفتارهای تصادفی را می توانند نشان دهند و آیا راهی برای طبقه بندی آنها وجود دارد یا خیر. استقلال آماری مجانبی و به تبع آن عدم کنترل کامل بر آینده دور از ویژگی‌های معمولی سیستم‌های K کلاسیک است. این ویژگی‌ها کاملاً با آنتروپی دینامیکی کولموگروف و سینا مشخص می‌شوند، به طوری که معرفی مفهومی مشابه برای سیستم‌های کوانتومی فرصت طرح سؤالات معنی‌دار و ارائه برخی پاسخ‌های غیر پیش پا افتاده را برای آنها فراهم کرده است. از آنجایی که در ادامه به طور عمده با سیستم های کوانتومی بی نهایت سروکار خواهیم داشت، رویکرد جبری به نظریه کوانتومی ابزارهای تحلیلی لازم را در اختیار ما قرار می دهد که می تواند در زمینه جابجایی نیز استفاده شود.

The purpose of this volume is to give a detailed account of a series of re­ sults concerning some ergodic questions of quantum mechanics which have the past six years following the formulation of a generalized been addressed in Kolmogorov-Sinai entropy by A.Connes, H.Narnhofer and W.Thirring. Classical ergodicity and mixing are fully developed topics of mathematical physics dealing with the lowest levels in a hierarchy of increasingly random behaviours with the so-called Bernoulli systems at its apex showing a structure that characterizes them as Kolmogorov (K-) systems. It seems not only reasonable, but also inevitable to use classical ergodic theory as a guide in the study of ergodic behaviours of quantum systems. The question is which kind of random behaviours quantum systems can exhibit and whether there is any way of classifying them. Asymptotic statistical independence and, correspondingly, complete lack of control over the distant future are typical features of classical K-systems. These properties are fully characterized by the dynamical entropy of Kolmogorov and Sinai, so that the introduction of a similar concept for quantum systems has provided the opportunity of raising meaningful questions and of proposing some non-trivial answers to them. Since in the following we shall be mainly concerned with infinite quantum systems, the algebraic approach to quantum theory will provide us with the necessary analytical tools which can be used in the commutative context, too.