Deterministic Abelian Sandpile Models and Patterns

مدل مورد بررسی در این کار، یک خودکار سلولی خاص با تکامل تصادفی، به عنوان ساده‌ترین حالت انتقادی خود سازمان‌یافته، یعنی یک سیستم دینامیکی که همبستگی‌های دوربرد جبری را بدون تنظیم پارامترها نشان می‌دهد، معرفی شد. نویسنده نتایج دقیقی به دست می‌آورد که به طور بالقوه در خارج از حوزه پدیده‌های انتقادی نیز جالب هستند. دقیق به معنی سایت به سایت و نه تنها دانه بندی متوسط ​​یا درشت مجموعه است. الگوهای دوره‌ای بسیار پیچیده و شگفت‌انگیز زیبا اغلب توسط دینامیک درگیر ایجاد می‌شوند، به‌ویژه در پروتکل‌های قطعی که در آن ماسه در مکان‌های انتخابی اضافه می‌شود. به عنوان مثال، نویسنده ظاهر ساختارهای آلومتریک را مطالعه می کند، یعنی الگوهایی که به طور یکسان در کل بدن خود رشد می کنند، و نه تنها در نزدیکی مرزهای خود، همانطور که معمولاً اتفاق می افتد. قوانین حفاظت محلی که بر تکامل این الگوها حاکم است نیز ارائه شده است. این کار قبلاً نه تنها در مکانیک آماری غیرتعادلی، بلکه در ریاضیات، هم در احتمال و هم در ترکیبات، مورد توجه قرار گرفته است. همچنین پیوندهای جالبی با نظریه اعداد وجود دارد. در نهایت، همچنین سوالات جدیدی را در مورد یک موضوع قدیمی مطرح می کند. به این ترتیب، برای متخصصان رایانه جالب خواهد بود و نشان می دهد که الگوهای جذاب می توانند به سادگی به دست آیند، و همچنین برای محققانی که در بسیاری از زمینه های دیگر کار می کنند.

The model investigated in this work, a particular cellular automaton with stochastic evolution, was introduced as the simplest case of self-organized-criticality, that is, a dynamical system which shows algebraic long-range correlations without any tuning of parameters. The author derives exact results which are potentially also interesting outside the area of critical phenomena. Exact means also site-by-site and not only ensemble average or coarse graining. Very complex and amazingly beautiful periodic patterns are often generated by the dynamics involved, especially in deterministic protocols in which the sand is added at chosen sites. For example, the author studies the appearance of allometric structures, that is, patterns which grow in the same way in their whole body, and not only near their boundaries, as commonly occurs. The local conservation laws which govern the evolution of these patterns are also presented. This work has already attracted interest, not only in non-equilibrium statistical mechanics, but also in mathematics, both in probability and in combinatorics. There are also interesting connections with number theory. Lastly, it also poses new questions about an old subject. As such, it will be of interest to computer practitioners, demonstrating the simplicity with which charming patterns can be obtained, as well as to researchers working in many other areas.