Descent Directions and Efficient Solutions in Discretely Distributed Stochastic Programs

در مهندسی و اقتصاد اغلب باید بردار مشخصی از ورودی ها یا تصمیمات انتخاب شود، مشروط به برخی محدودیت ها، به طوری که هزینه های مورد انتظار ناشی از انحراف بین خروجی یک سیستم خطی تصادفی و یک بردار هدف تصادفی مورد نظر حداقل باشد. در بسیاری از موارد تابع تلفات u محدب است و متغیرهای تصادفی رخ داده حداقل تقریباً دارای یک توزیع گسسته مشترک هستند. مسائل بتن از این نوع برنامه های خطی تصادفی با توسل، مسائل بهینه سازی پورتفولیو، کمینه سازی خطا و مسائل طراحی بهینه است. در حل مسائل بهینه سازی تصادفی از این نوع توسط نرم افزار بهینه سازی استاندارد، مشکل اصلی این است که تابع هدف F و مشتقات آن توسط انتگرال های متعدد تعریف می شوند. از این رو، فرد می‌خواهد تا حد امکان از محاسبات زمان‌بر مشتقات F حذف شود. با استفاده از ساختار خاص مسئله، مبانی ریاضی و چندین روش مشخص برای محاسبه جهت‌های نزول امکان‌پذیر، در بخش خاصی از دامنه امکان پذیر، ابتدا بدون هیچ مشتقی از تابع هدف F ارائه می شود. همچنین می توان از آن برای پشتیبانی از روش های دیگر برای حل برنامه های تصادفی توزیع شده گسسته، به ویژه برنامه ریزی خطی مقیاس بزرگ و روش های تقریب تصادفی استفاده کرد.

In engineering and economics a certain vector of inputs or decisions must often be chosen, subject to some constraints, such that the expected costs arising from the deviation between the output of a stochastic linear system and a desired stochastic target vector are minimal. In many cases the loss function u is convex and the occuring random variables have, at least approximately, a joint discrete distribution. Concrete problems of this type are stochastic linear programs with recourse, portfolio optimization problems, error minimization and optimal design problems. In solving stochastic optimization problems of this type by standard optimization software, the main difficulty is that the objective function F and its derivatives are defined by multiple integrals. Hence, one wants to omit, as much as possible, the time-consuming computation of derivatives of F. Using the special structure of the problem, the mathematical foundations and several concrete methods for the computation of feasible descent directions, in a certain part of the feasible domain, are presented first, without any derivatives of the objective function F. It can also be used to support other methods for solving discretely distributed stochastic programs, especially large scale linear programming and stochastic approximation methods.