Der Quotienten-Differenzen-Algorithmus

به دنبال کاربرد عملی الگوریتم BO (الگوریتم biorthogonalization توسط C. LANCZOS [4]، [5]1)، پروفسور E. STIEFEL، ETH، توجه من را به این مسئله جلب کرد که مقادیر ویژه بالاتر باید مستقیماً تعیین شوند. از به اصطلاح ثابت های شوارتز، یعنی بدون گذر از متعامدسازی. در پاسخ به این پیشنهاد، نویسنده الگوریتمی را ایجاد کرد که کار را حل می کند. با این حال، A. C. AITKEN [1] قبلاً روشی ارائه کرده است که عمدتاً برای حل معادلات جبری در نظر گرفته شده بود، اما همچنین امکان تعیین مقادیر ویژه بالاتر از ثابت های شوارتز را فراهم می کند. C. LANCZOS همچنین الگوریتمی را برای تعیین چند جمله ای مشخصه یک ماتریس از ثابت های شوارتز ارائه کرد. علاوه بر این، J. HADAMARD در پایان نامه خود [2] روشی را برای تعیین قطب های یک تابع ارائه شده توسط سری توان آن توسعه داد. همانطور که در بخش 1 نشان داده خواهد شد، او بدین وسیله مسئله مقدار ویژه که در ابتدا ذکر شد را نیز حل کرده است. اگر مشکلی که قبلاً حل شده است دوباره در اینجا مطرح می‌شود، به این دلیل است که الگوریتم توسعه‌یافته اجازه یک سری کاربردهای بیشتر را می‌دهد و به‌ویژه، روابط ارزشمندی را به نظریه کسرهای ادامه دار انتقال می‌دهد. این کار به سه فصل تقسیم شده است، که فصل های I و n به نظریه و کاربردها می پردازند، در حالی که III به گسترش الگوریتم QD به بردارها می پردازد. در نهایت، ضمیمه ای در مورد روش های مرتبط (به ویژه تبدیل LR) وجود دارد. فصل های I، n، In قبلاً به صورت جداگانه در ZAMP ظاهر شده اند)، اما باید توجه داشت که I و n در برخی موارد دستخوش تغییرات قابل توجهی شده اند.

Im Anschluss an eine praktische Anwendung des BO-Algorithmus (Biortho­ gonalisierungs-Algorithmus von C. LANCZOS [4], [5]1) machte mich Herr Prof. E. STIEFEL, ETH, auf das Problem aufmerksam, die höheren Eigenwerte direkt aus den sogenannten Schwarzsehen Konstanten zu bestimmen, das heisst ohne den Umweg über die Orthogonalisierung. Auf diese Anregung hin entwickelte der Verfasser einen Algorithmus, der die gestellte Aufgabe löst. Allerdings gab bereits A. C. AITKEN [1] eine Methode an, welche haupt­ sächlich zur Auflösung algebraischer Gleichungen gedacht war, aber auch die Bestimmung höherer Eigenwerte aus Schwarzsehen Konstanten gestattet. 2 Ferner stammt von C. LANCZOS ein Algorithmus ) zur Bestimmung des charak­ teristischen Polynoms einer Matrix aus Schwarzsehen Konstanten. Überdies entwickelte J. HADAMARD in seiner Dissertation [2] eine Methode zur Bestim­ mung der Pole einer durch ihre Potenzreihe gegebenen Funktion. Er hat damit, wie § 1 zeigen wird, auch das eingangs erwähnte Eigenwertproblem gelöst. Wenn hier das schon gelöste Problem nochmals aufgegriffen wird, so geschieht dies deshalb, weil der entwickelte Algorithmus eine Reihe von weiteren An­ wendungen gestattet und insbesondere auch wertvolle Beziehungen zur Ketten­ bruchtheorie vermittelt3). Die Arbeit gliedert sich in drei Kapitel, von denen sich die Kapitel I und n mit Theorie und Anwendungen befassen, während III eine Ausdehnung des QD-Algorithmus auf Vektoren behandelt. Schliesslich folgt ein Anhang über verwandte Methoden (insbesondere die LR-Transformation). Die Kapitel I, n, In sind einzeln bereits in der ZAMP erschienen'), doch ist zu beachten, dass I und n zum Teil erhebliche Veränderungen erfahren haben.