Curves and surfaces

این کتاب مقدمه ای بر هندسه دیفرانسیل منحنی ها و سطوح ارائه می دهد. تئوری منحنی ها با بحث در مورد تعاریف ممکن مفهوم منحنی شروع می شود و به ویژه طبقه بندی منیفولدهای 1 بعدی را اثبات می کند. سپس نظریه محلی کلاسیک منحنی‌های صفحه و فضا پارامتری شده را ارائه می‌کنیم (منحنی‌ها در فضای n بعدی در مواد تکمیلی مورد بحث قرار می‌گیرند): انحنا، پیچش، فرمول‌های فرنت و قضیه اساسی نظریه محلی منحنی‌ها. سپس، پس از ارائه مستقل تئوری درجه برای خودنقشه‌های پیوسته محیط، نظریه جهانی منحنی‌های صفحه را مطالعه می‌کنیم، اعداد پیچ‌خوردگی و چرخش را معرفی می‌کنیم و قضیه منحنی جردن را برای منحنی‌های کلاس C2 و قضیه Hopf اثبات می‌کنیم. بر روی تعداد چرخش منحنی های ساده بسته. نظریه محلی سطوح با مقایسه مفهوم سطح پارامتری شده (یعنی غوطه ور) با مفهوم سطح منظم (یعنی تعبیه شده) آغاز می شود. سپس هندسه دیفرانسیل پایه سطوح را در R3 توسعه می‌دهیم: تعاریف، مثال‌ها، نقشه‌ها و توابع قابل تمایز، بردارهای مماس (هم به عنوان بردارهای مماس بر منحنی‌ها در سطح و هم به‌عنوان مشتقات روی میکروب‌های توابع قابل تمایز ارائه می‌شوند؛ ما باید به طور مداوم از هر دو رویکرد در کل کتاب) و جهت گیری. در ادامه چندین مفهوم انحنای روی یک سطح را مطالعه می‌کنیم، و بر معنای هندسی اشیاء معرفی‌شده و روش‌های جبری/تحلیلی مورد نیاز برای مطالعه آنها از طریق نقشه گاوس، تا اثبات Teorema Egregium گاوس تأکید می‌کنیم. سپس میدان‌های برداری را بر روی یک سطح (جریان، انتگرال‌های اول، منحنی‌های انتگرال) و ژئودزیک (تعریف، ویژگی‌های اساسی، انحنای ژئودزیکی، و در ماده مکمل، اثبات کامل به حداقل رساندن خواص ژئودزیک‌ها و قضیه هاپف-رینو) معرفی می‌کنیم. برای سطوح). سپس با استفاده از خواص اساسی (کاملاً در مواد مکمل اثبات شده) مثلث‌بندی سطوح، اثباتی از قضیه مشهور گاوس-بونه، هم در شکل محلی و هم در شکل جهانی آن ارائه می‌کنیم. به عنوان یک کاربرد، قضیه پوانکاره-هوپف را روی صفرهای میدان های برداری اثبات خواهیم کرد. در نهایت، فصل آخر به چندین نتیجه مهم در مورد تئوری جهانی سطوح، مانند توصیف سطوح با انحنای گاوسی ثابت، و جهت‌پذیری سطوح فشرده در R3 اختصاص خواهد یافت.

The book provides an introduction to Differential Geometry of Curves and Surfaces. The theory of curves starts with a discussion of possible definitions of the concept of curve, proving in particular the classification of 1-dimensional manifolds. We then present the classical local theory of parametrized plane and space curves (curves in n-dimensional space are discussed in the complementary material): curvature, torsion, Frenet’s formulas and the fundamental theorem of the local theory of curves. Then, after a self-contained presentation of degree theory for continuous self-maps of the circumference, we study the global theory of plane curves, introducing winding and rotation numbers, and proving the Jordan curve theorem for curves of class C2, and Hopf theorem on the rotation number of closed simple curves. The local theory of surfaces begins with a comparison of the concept of parametrized (i.e., immersed) surface with the concept of regular (i.e., embedded) surface. We then develop the basic differential geometry of surfaces in R3: definitions, examples, differentiable maps and functions, tangent vectors (presented both as vectors tangent to curves in the surface and as derivations on germs of differentiable functions; we shall consistently use both approaches in the whole book) and orientation. Next we study the several notions of curvature on a surface, stressing both the geometrical meaning of the objects introduced and the algebraic/analytical methods needed to study them via the Gauss map, up to the proof of Gauss’ Teorema Egregium. Then we introduce vector fields on a surface (flow, first integrals, integral curves) and geodesics (definition, basic properties, geodesic curvature, and, in the complementary material, a full proof of minimizing properties of geodesics and of the Hopf-Rinow theorem for surfaces). Then we shall present a proof of the celebrated Gauss-Bonnet theorem, both in its local and in its global form, using basic properties (fully proved in the complementary material) of triangulations of surfaces. As an application, we shall prove the Poincaré-Hopf theorem on zeroes of vector fields. Finally, the last chapter will be devoted to several important results on the global theory of surfaces, like for instance the characterization of surfaces with constant Gaussian curvature, and the orientability of compact surfaces in R3.