Curve e superfici (UNITEXT La Matematica per il 3+2)

Copertina......Page 1
Frontespizio......Page 3
Copyright......Page 4
Prefazione......Page 5
Indice......Page 11
1.1 Il concetto di curva......Page 14
1.2 Lunghezza d’arco......Page 22
1.3 Curvatura e torsione......Page 28
Problemi guida......Page 40
Esercizi......Page 49
1.4 La forma canonica locale......Page 60
1.5 Il teorema di Whitney......Page 65
1.6 Classificazione delle 1-sottovarietà......Page 67
1.7 Formule di Frenet-Serret in dimensione qualsiasi......Page 73
2.1 Il grado delle curve in S¹......Page 78
2.2 Intorni tubolari......Page 86
2.3 Il teorema della curva di Jordan......Page 91
2.4 Il teorema delle tangenti......Page 97
Problemi guida......Page 103
Esercizi......Page 106
2.5 Curve convesse......Page 108
2.6 Il teorema dei quattro vertici......Page 111
2.7 Disuguaglianza isoperimetrica......Page 115
2.8 Il teorema di Schönflies......Page 118
3.1 Definizione di superficie......Page 130
3.2 Funzioni differenziabili......Page 145
3.3 Piano tangente......Page 148
3.4 Vettori tangenti e derivazioni......Page 151
Problemi guida......Page 161
Esercizi......Page 165
3.5 Il teorema di Sard......Page 172
3.6 Partizioni dell’unità......Page 174
4 Curvature......Page 178
4.1 La prima forma fondamentale......Page 179
4.2 Area......Page 186
4.3 Orientabilità......Page 191
4.4 Curvatura normale e seconda forma fondamentale......Page 196
4.5 Curvature principali, Gaussiana e media......Page 204
4.6 Il teorema egregium di Gauss......Page 212
Problemi guida......Page 219
Esercizi......Page 232
4.7 Trasversalità......Page 244
4.8 Intorni tubolari......Page 251
4.9 Il teorema fondamentale della teoria locale delle superfici......Page 255
5 Geodetiche......Page 262
5.1 Geodetiche e curvatura geodetica......Page 263
5.2 Proprietà di minimizzazione......Page 275
5.3 Campi vettoriali......Page 283
Problemi guida......Page 293
Esercizi......Page 297
5.4 Il teorema di Hopf-Rinow......Page 303
5.5 Superfici localmente isometriche......Page 312
6 Il teorema di Gauss-Bonnet......Page 318
6.1 Il teorema di Gauss-Bonnet locale......Page 319
6.2 Triangolazioni......Page 323
6.3 Il teorema di Gauss-Bonnet globale......Page 330
6.4 Il teorema di Poincaré-Hopf......Page 339
Problemi guida......Page 347
Esercizi......Page 348
6.5 Esistenza delle triangolazioni......Page 352
7 Teoria globale delle superfici......Page 360
7.1 Superfici di curvatura costante positiva......Page 361
7.2 Superfici di curvatura costante nulla......Page 364
7.3 Superfici di curvatura costante negativa......Page 370
Esercizi......Page 377
7.4 Curvatura Gaussiana positiva......Page 380
7.5 Rivestimenti......Page 387
7.6 Curvatura Gaussiana non positiva......Page 392
Riferimenti bibliografici......Page 398
Lista dei simboli......Page 400
Indice analitico......Page 402