Cubic Fields with Geometry

هدف این کتاب ارائه ابزارهایی برای حل مسائلی است که شامل فیلدهای اعداد مکعبی است. بسیاری از این گونه مسائل را می توان از نظر هندسی در نظر گرفت. هم از نظر هندسه اعداد و هم از نظر هندسه معادلات دیوفانتین مکعبی مرتبط که از بسیاری جهات شبیه معادله پل هستند. با بیش از 50 نمودار هندسی، این کتاب شامل تصاویر بسیاری از این موضوعات است. این کتاب ممکن است به عنوان یک مرجع همراه برای آن دسته از دانشجویان تئوری اعداد جبری که مایل به یافتن مثال‌های بیشتری هستند، مجموعه‌ای از نتایج تحقیقات اخیر در زمینه‌های مکعبی، منبعی آسان برای یادگیری در مورد الگوریتم واحد ورونوی و چندین الگوریتم کلاسیک در نظر گرفته شود. نتایجی که هنوز به این حوزه مرتبط هستند، و کتابی که به پر کردن شکاف در درک ارتباطات بین هندسه جبری و نظریه اعداد کمک می‌کند.
این نمایشگاه شامل بحث‌های متعددی در مورد محاسبه با میدان‌های مکعبی از جمله کسرهای ادامه دار ساده اعداد غیر منطقی مکعبی، حسابی است. با استفاده از ماتریس‌های عدد صحیح، محاسبات گروه کلاس ایده‌آل، شبکه‌های روی میدان‌های مکعبی، ساخت میدان‌های مکعبی با تفکیک معین، جستجوی عناصر هنجار 1 یک میدان مکعبی با پارامترسازی منطقی و الگوریتم ورونوی برای یافتن سیستمی از واحدهای بنیادی. در سرتاسر، بحث‌ها در قالب یک شکل مکعبی باینری است که ممکن است برای توصیف یک میدان مکعبی معین استفاده شود. این موضوع علیرغم تنوع موضوعات نظری، فصل های این کتاب را متحد می کند.

The objective of this book is to provide tools for solving problems which involve cubic number fields. Many such problems can be considered geometrically; both in terms of the geometry of numbers and geometry of the associated cubic Diophantine equations that are similar in many ways to the Pell equation. With over 50 geometric diagrams, this book includes illustrations of many of these topics. The book may be thought of as a companion reference for those students of algebraic number theory who wish to find more examples, a collection of recent research results on cubic fields, an easy-to-understand source for learning about Voronoi’s unit algorithm and several classical results which are still relevant to the field, and a book which helps bridge a gap in understanding connections between algebraic geometry and number theory.
The exposition includes numerous discussions on calculating with cubic fields including simple continued fractions of cubic irrational numbers, arithmetic using integer matrices, ideal class group computations, lattices over cubic fields, construction of cubic fields with a given discriminant, the search for elements of norm 1 of a cubic field with rational parametrization, and Voronoi's algorithm for finding a system of fundamental units. Throughout, the discussions are framed in terms of a binary cubic form that may be used to describe a given cubic field. This unifies the chapters of this book despite the diversity of their number theoretic topics.