Cours de mathématiques du premier cycle, Première année

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Introduction
ALGÈBRE.
CHAPITRE 1. ENSEMBLES.
	1.1. Appartenance
	1.2. Inclusion
	1.3. Opérations élémentaires
	1.4. Propriétés des opérations élémentaires
	1.5. Produit d\'ensembles
	1.6. Fonctions
	1.7. Composition des applications
	1.8. Applications injectives, surjectives, bijectives
	1.9. Image directe, image réciproque
	1.10. Familles
	1.11. Relations d\'équivalence
	1.12. Décomposition canonique d\'une application
	1.13. Relations d\'ordre
	1.14. Majorant, plus grand élément, borne supérieure
	1.15. Analyse combinatoire
	1.16. Équipotence des ensembles
	1.17. Opérations logiques élémentaires
	1.18. Quantificateurs
CHAPITRE II. LOIS DE COMPOSITION.
	2.1. Définition
	2.2. Lois associatives
	2.3. Lois commutatives
	2.4. Élément neutre
	2.5. Éléments inverses
	2.6. Homomorphismes
CHAPITRE III. GROUPES.
	3. 1. Définition
	3.2. Sous-groupes d\'un groupe
	3.3. Classes suivant un sous-groupe
	3.4. Groupe quotient d\'un groupe commutatif
	3.5. Homomorphismes de groupes
	3.6. Décomposition canonique d\'un homomorphisme
	3.7. Groupes opérant dans un ensemble
CHAPITRE IV. ANNEAUX.
	4.1. Définition
	4.2. Sous-anneaux, idéaux
	4.3. Anneau quotient d\'un anneau commutatif
	4.4. Homomorphismes d\'anneaux
	4.5. Corps
	4.6. Anneaux intègres
	4.7. Construction de l\'anneau Z
CHAPITRE V. POLYNÔMES A UNE VARIABLE.
	5.1. Définition
	5.2. Degré d\'un polynôme
	5.3. Division des polynômes suivant les puissances décroissantes
	5.4. Divisibilité des polynômes
	5.5. Polynômes premiers entre eux
	5.6. Multiples communs à deux polynômes
	5.7. Polynômes irréductibles
	5.8. Fonctions polynômes
	5.9. Racines d\'un polynôme
	5.10. Formule d\'interpolation de Lagrange
	5.11. Cas du corps C
	5.12. Cas du corps R
	5.13. Dérivée d\'un polynôme
	5.14. Division suivant les puissances croissantes
	5.15. Nombres complexes
CHAPITRE VI. FRACTIONS RATIONNELLES A UNE VARIABLE.
	6.1. Définition
	6.2. Partie entière d\'une fraction rationnelle
	6.3. Décomposition en éléments simples
	6.4. Cas du corps C
	6.5. Cas du corps R
CHAPITRE VII. POLYNÔMES A PLUSIEURS VARIABLES.
	7.1. Définition
	7.2. Relation avec les polynômes à une variable
	7.3. Degrés
	7.4. Fonctions polynômes
	7.5. Autre définition des polynômes homogènes
	7.6. Dérivées
CHAPITRE VIII. ESPACES VECTORIELS.
	8.1. Définition
	8.2. Sous-espaces vectoriels
	8.3. Espaces vectoriels quotients
	8.4. Applications linéaires
	8.5. Sous-espaces vectoriels supplémentaires
	8.6. Produit d\'espaces vectoriels
	8.7. Indépendance linéaire
	8.8. Bases d\'un espace vectoriel
	8.9. Existence de bases
	8.10. Dimension
	8.11. Rang d\'une application linéaire
	8.12. L\'espace vectoriel L(E,F)
	8.13. Dual d\'un espace vectoriel
	8.14. Formes bilinéaires
	8.15. Formes bilinéaires non dégénérées
	8.16. Bases duales
	8.17. Orthogonalité
	8.18. Transposition
	8.19. Formes multilinéaires
CHAPITRE IX. MATRICES.
	9.1. Définition
	9.2. Matrice d\'une application linéaire
	9.3. Opérations sur les matrices
	9.4. Matrices carrées
	9.5. Matrices lignes, matrices colonnes
	9.6. Transposée d\'une matrice
	9.7. Matrices inversib1es
	9.8. Changement de base
	9.9. Matrices équivalentes
	9.10. Matrices semblables
	9.11. Matrice d\'une forme bilinéaire
CHAPITRE X. DÉTERMINANTS.
	10.1. Signature d\'une permutation
	10.2. Formes multilinéaires alternées
	10.3. Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n
	10.4. Déterminant d\'un système de vecteurs par rapport à une base
	10.5. Déterminant d\'une application linéaire de E dans E
	10.6. Déterminant d\'une matrice carrée
	10.7. Calcul d\'un déterminant par blocs
	10.8. Développement d\'un déterminant suivant les éléments d\'une ligne ou d\'une colonne
	10.9. Critère pour que des vecteurs soient linéairement indépendants
	10.10. Calcul du rang d\'une matrice
	10.11. Orientation des espaces vectoriels réels
	10.12. Produit mixte dans l\'espace ordinaire orienté
	10.13. Produit vectoriel dans l\'espace ordinaire orienté
CHAPITRE XI. SYSTÈMES D\'ÉQUATIONS LINÉAIRES.
	11.1. Définition
	11.2. Systèmes de Cramer
	11.3. Systèmes linéaires quelconques
CHAPITRE XII. NOTIONS AFFINES.
	12.1. Sous-espaces affines
	12.2. Équations d\'un sous-espace affine
	12.3. Représentation paramétrique d\'un sous-espace affine
	12.4. Applications affines
	12.5. Barycentre
	12.6. Ensembles convexes
	12.7. Espaces affines
ANALYSE.
CHAPITRE XIII. CONSTRUCTION DES NOMBRES RÉELS.
	13.1. Entiers rationnels, nombres rationnels
	13.2. Suites de Cauchy, équivalence des suites de Cauchy
	13.3. Addition des nombres réels
	13.4. Multiplication des nombres réels
	13.5. Identification des nombres rationnels à des nombres réels
	13.6. Comparaison des nombres réels
CHAPITRE XIV. LIMITES.
	14.1. Limite d\'une suite de nombres
	14.2. Suites de Cauchy
	14.3. Suites monotones
	14.4. Limites infinies
	14.5. Limite d\'une fonction
	14.6. Équivalence
	14.7. Partie principale d\'un infiniment petit
	14.8. Les notations o et O
	14.9. Fonctions continues
	14.10. Fonctions uniformément continues
	14.11. Fonction réciproque d\'une fonction continue strictement monotone
	14.12. Application : fonctions réciproques des fonctions circulaires
	14.13. Limite simple, limite uniforme d\'une suite de fonctions
CHAPITRE XV. DÉRIVÉES.
	15.1. Définition
	15.2. Extensions de la notion de dérivée
	15.3. Dérivées successives
	15.4. Règles de calcul
	15.5. Dérivées des fonctions réciproques des fonctions circulaires
	15.6. Formule de Leibniz
	15.7. Théorème des accroissements finis
	15.8. Fonctions convexes
CHAPITRE XVI. INTÉGRALES.
	16.1. Intégrale des fonctions en escalier
	16.2. Intégrale des fonctions continues
	16.3. Premières propriétés de l\'intégrale
	16.4. Propriétés relatives à l\'intervalle d\'intégration
	16.5. Primitives
	16.6. Intégration par parties
	16.7. Changemcnt de variables
	16.8. Application : formule de Wallis
	16.9. Valeur moyenne d\'une fonction
CHAPITRE XVII. FONCTION LOGARITHMIQUE ET FONCTIONS ASSOCIÉES.
	17.1. Définition de la fonction logarithmique
	17.2. Logarithme d\'un produit
	17.3. Fin de l\'étude des variations de Log x
	17.4. Logarithmes de base a
	17.5. Fonction exponentielle
	17.6. Généralisation
	17.7. L\'exponentielle définie comme limite
	17.8. Fonctions hyperboliques
	17.9. Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques
	17.10. Fonction y = x^n
	17.11. Variations de x^n
	17.12. Ordres de croissance
CHAPITRE XVIII. CALCUL DES PRIMITIVES.
	18.1. Primitives usuelles
	18.2. Intégration des fractions rationnelles
	18.3. Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles. 1
	18.4. Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles. II
	18.5. Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles. III
	18.6. Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles. IV
CHAPITRE XIX. FORMULE DE TAYLOR.
	19.1. Démonstration de la formule de Taylor
	19.2. Recherche de la partie principale d\'un infiniment petit
	19.3. Allure d\'un graphe au voisinage d\'un point
CHAPITRE XX. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS.
	20.1. Définition
	20.2. Développements limités usuels
	20.3. Opérations sur les développements limités
	20.4. Parties principales d\'infiniment petits usuels
	20.5. Généralisations des développements limités
	20.6. Applications des développen1ents limités à la recherche de limites
CHAPITRE XXI. NORMES. DISTANCES.
	21.1. Normes
	21.2. Distances
	21.3. Limite d\'une suite de points dans un espace métrique
	21.4. Limite d\'une application d\'un espace métrique dans un autre
	21.5. Applications continues d\'un espace métrique dans un autre
	21.6. Ensembles ouverts, ensembles fermés
CHAPITRE XXII. DÉRIVÉES DES FONCTIONS VECTORIELLES.
	22.1. Définition
	22.2. Dérivées successives
	22.3. Règles de calcul
	22.4. Formule de Taylor-Young
CHAPITRE XXIII. DÉRIVÉES PARTIELLES.
	23.1. Définition
	23.2. Dérivée d\'une fonction composée
	23.3. Dérivées partiel1es secondes
	23.4. Dérivées partielles successives
	23.5. Dérivées successives d\'une fonction composée
	23.6. Formule de Taylor
CHAPITRE XXIV. DIFFÉRENTIELLES.
	24.1. Différentielle d\'une fonction en un point
	24.2. Différentielle d\'une fonction
	24.3. Différentielle d\'une fonction composée
	24.4. Calcul des différentielles
	24.5. Fonctions stationnaires
	24.6. Gradient d\'une fonction
CHAPITRE XXV. FONCTIONS IMPLICITES.
	25.1. Définition et existence
	25.2. Première généralisation
	25.3. Deuxième généralisation
CHAPITRE XXVI. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.
	26.1. Définition
	26.2. Interprétation géométrique
	26.3. Théorème général d\'existence et d\'unicité
	26.4. Équations à variables séparées
	26.5. Équations linéaires
	26.6. Application à un problème géométrique
GÉOMÉTRIE.
CHAPITRE XXVII. COURBES PARAMÉTRÉES DANS LE PLAN.
	27.1. Définition
	27.2. Tangente
	27.3. Forme au voisinage d\'un point
	27.4. Branches infinies
	27.5. Concavité
	27.6. Construction des courbes paramétrées planes
CHAPITRE XXVIII. COURBES PARAMÉTRÉES DANS L\'ESPACE.
	28.1. Définition
	28.2. Tangente
	28.3. Plan osculateur
	28.4. Forme au voisinage d\'un point
CHAPITRE XXIX. SURFACES PARAMÉTRÉES DANS L\'ESPACE.
	29.1. Définition
	29.2. Exemples de surfaces paramétrées
	29.3. Plan tangent
CHAPITRE XXX. ÉQUATIONS DES COURBES ET DES SURFACES.
	30.1. Équation d\'une courbe dans le plan
	30.2. Équation d\'une surface dans l\'espace
	30.3. Équations d\'une courbe dans l\'espace
	30.4. Exemples de recherche d\'équations de surface
	30.5. Ellipsoïde
	30.6. HyperboIoïde à une nappe
	30.7. Hyperboloïde à deux nappes
	30.8. Paraboloïde elliptique
	30.9. Paraboloïde hyperbolique
CHAPITRE XXXI. COORDONNÉES POLAIRES.
	31.1. Définition
	31.2. Équation polaire d\'une courbe
	31.3. Tangente à une courbe définie paramétriquernent en coordonnées polaires
	31.4. Concavité d\'une courbe définie paramétriquement en coordonnées polaires
	31.5. Constructions de courbes définies par une équation r = f(θ)
	31.6. Coordonnées cylindriques
	31.7. Coordonnées sphériques
EXERCICES
QUELQUES RÉPONSES ET SUGGESTIONS
INDEX DES NOTATIONS
INDEX TERMINOLOGIQUE