Cours d'algèbre

Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
Avant-propos......Page 10
1.1 Relations d\'équivalence......Page 12
1.2 Relations d\'ordre......Page 14
1.3 Ensembles inductifs, ensembles bien ordonnés......Page 17
2.1 Ensemble des entiers naturels......Page 18
2.2 Ensembles finis, cardinaux......Page 20
2.3 Addition des entiers naturels......Page 23
2.4 Multiplication des entiers naturels......Page 24
2.6 Analyse combinatoire......Page 27
2.7 Ensembles dénombrables......Page 29
2.8 Quelques compléments......Page 30
3.1 Lois de composition internes......Page 34
3.2 Morphismes, quotients......Page 37
3.3 Lois de composition externes......Page 38
3.4 Structures algébriques......Page 39
3.5 Symétrisation d\'un semi-groupe......Page 40
3.6 Anneau des entiers rationnels......Page 41
4.1 Généralités......Page 44
4.2 Sous-groupes......Page 45
4.3 Quotients......Page 47
4.4 Suites exactes, produits semi-directs......Page 50
4.5 Groupes résolubles......Page 51
4.6 pgcd, ppcm......Page 52
4.7 Quotients du groupe des entiers......Page 54
4.8 Quelques résultats classiques......Page 55
4.9 Sommes de groupes abéliens......Page 57
4.10 Groupes abéliens libres......Page 59
4.11 Groupes abéliens de type fini......Page 62
4.12 Groupes libres......Page 66
4.13 Générateurs et relations......Page 68
5.1 Orbites, transpositions, cycles......Page 70
5.2 Signature d\'une permutation......Page 72
5.3 Opération d\'un groupe sur un ensemble......Page 75
5.4 Applications aux groupes......Page 77
5.5 Simplicité du groupe alterné......Page 79
5.6 Résolubilité du groupe symétrique......Page 80
5.7 Automorphismes intérieurs......Page 81
5.8 Sous-groupes de Sylow......Page 83
6.1 Structure d\'anneau......Page 86
6.2 Sous-anneaux, idéaux, quotients......Page 88
6.3 Caractéristique d\'un anneau......Page 90
6.4 Sommes et produits d\'idéaux......Page 91
6.5 Corps......Page 92
6.6 Localisation......Page 93
6.7 Corps des nombres rationnels......Page 95
6.9 Matrices......Page 96
7.1 Structures ordonnées......Page 100
7.2 Suites de Cauchy......Page 104
7.3 Corps des nombres réels......Page 106
7.4 Propriétés topologiques du corps des réels......Page 108
7.5 Propriétés algébriques du corps des réels......Page 111
7.6 Applications continues......Page 114
7.7 Une représentation des nombres réels......Page 117
7.8 Une caractérisation du corps des réels......Page 119
8.1 Corps des nombres complexes......Page 122
8.2 Propriétés topologiques du corps des complexes......Page 124
8.3 Application exponentielle......Page 125
8.4 Dual d\'un groupe abélien fini......Page 129
9.1 Structure de module......Page 132
9.2 Sous-modules, produits, quotients......Page 134
9.3 Sommes de modules......Page 136
9.4 Projecteurs, sous-modules supplémentaires......Page 138
9.5 Structure d\'algèbre......Page 139
9.6 Familles génératrices, familles libres, bases......Page 140
9.7 Dualité......Page 143
9.8 Matrices, trace......Page 147
9.9 Matrices et applications linéaires......Page 148
9.10 Anneaux et modules noethériens......Page 150
10.1 Indépendance linéaire dans les espaces vectoriels......Page 152
10.2 Espaces vectoriels de dimension finie......Page 153
10.3 Cas général......Page 156
10.4 Rang......Page 157
10.5 Dualité......Page 158
10.6 Matrices et applications linéaires......Page 163
10.7 Changements de bases......Page 164
10.8 Espaces vectoriels sur un corps fini......Page 167
10.9 Applications linéaires......Page 168
11.1 Définition des polynômes......Page 172
11.2 Degré......Page 173
11.4 Divisions......Page 175
11.5 Idéaux, diviseurs, multiples......Page 176
11.6 Polynômes irréductibles......Page 180
11.7 Substitutions......Page 182
11.8 Zéros des polynômes......Page 183
11.9 Dérivations, formule de Taylor......Page 187
11.10 Corps algëbriquement clos......Page 188
11.11 Polynômes réels......Page 189
11.12 Relations entre coefficients et racines......Page 190
11.13 Polynômes d\'endomorphismes......Page 193
11.14 Endomorphismes semi-simples......Page 196
12.1 Applications multilinéaires......Page 198
12.2 Premières propriétés des déterminants......Page 200
12.3 Déterminant d\'un endomorphisme......Page 202
12.4 Déterminant d\'une matrice carrée......Page 203
12.5 Calcul des déterminants......Page 205
12.6 Exemples de déterminants......Page 208
12.7 Application au rang......Page 209
12.8 Calculs de dimensions......Page 210
12.9 Polynôme caractéristique......Page 212
13.1 Vecteurs propres, valeurs propres......Page 216
13.2 Diagonalisation......Page 217
13.3 Trigonalisation......Page 219
13.4 Endomorphismes nilpotents......Page 222
13.5 Réduction de Jordan......Page 224
13.6 Sous-espaces monogènes......Page 225
14.1 Algèbre d\'un monoïde......Page 228
14.2 Définition des polynômes......Page 230
14.3 Degrés......Page 232
14.5 Substitutions......Page 233
14.6 Dérivations......Page 234
14.7 Fonctions polynomiales......Page 236
14.9 Polynômes symétriques......Page 237
14.10 Structure des polynômes symétriques......Page 238
14.11 Sommes de puissances......Page 240
14.12 Résultant et discriminant......Page 241
15.1 Généralités......Page 244
15.2 Anneaux factoriels......Page 246
15.3 Anneaux principaux......Page 249
15.4 Anneaux euclidiens......Page 250
15.5 Entiers de Gauss......Page 252
15.6 Polynômes et anneaux factoriels......Page 254
15.7 Localisation......Page 257
15.8 Corps des fractions d\'un anneau principal......Page 258
15.9 Modules de type fini sur un anneau principal......Page 260
15.10 Module associé à un endomorphisme......Page 266
16.1 Généralités......Page 268
16.2 Substitutions......Page 269
16.3 Dérivations......Page 272
16.4 Décomposition en éléments simples......Page 274
16.5 Partie polaire, résidus......Page 277
16.6 Un calcul d\'intégrales......Page 278
16.7 Théorème des résidus......Page 280
16.8 Autres applications des fractions rationnelles......Page 282
16.9 Fractions rationnelles symétriques......Page 284
17.1 Sous-espaces affines......Page 286
17.2 Systèmes et équations linéaires......Page 287
17.3 Systèmes de Cramer......Page 289
17.4 Cas général......Page 291
17.5 Deux applications......Page 293
17.6 Opérations élémentaires......Page 295
17.7 Applications aux matrices inversibles......Page 298
17.8 Applications au calcul du rang......Page 299
17.9 Applications aux systèmes linéaires......Page 300
18.1 Extensions et adjonctions......Page 304
18.2 Extensions algébriques......Page 305
18.3 Corps de rupture, corps de décomposition......Page 306
18.4 Clôture algébrique......Page 308
18.5 Racines de l\'unité......Page 310
18.6 Corps finis......Page 312
18.7 Extensions quadratiques, involutions......Page 314
18.8 Quelques calculs dans les corps finis......Page 315
19.1 Rappels......Page 318
19.2 Espaces normés de dimension finie......Page 320
19.3 Rayon spectral......Page 324
19.4 Exponentielle d\'endomorphismes......Page 325
19.5 Matrices diagonalisables ou trigonalisables......Page 326
19.6 Applications des polynômes symétriques......Page 328
19.7 Classes de conjugaison......Page 330
20.1 Familles sommables......Page 332
20.2 Premières propriétés des séries formelles......Page 336
20.3 Séries formelles et sommabilité......Page 339
20.4 Substitutions......Page 342
20.5 Réversion d\'une série formelle......Page 343
20.6 Séries formelles généralisées......Page 345
20.7 Dérivations......Page 347
20.8 Séries formelles usuelles......Page 348
20.9 Séries génératrices......Page 350
21.1 Définition des produits tensoriels......Page 352
21.2 Propriétés des produits tensoriels......Page 354
21.3 Sommes directes et produits......Page 356
21.4 Dualité et produits tensoriels......Page 357
21.5 Extension des scalaires......Page 359
21.6 Produits tensoriels de matrices......Page 360
21.7 Produits tensoriels d\'algèbres......Page 361
22.1 Généralités......Page 362
22.2 Groupes dérivés......Page 364
22.3 Dilatations et transvections......Page 367
22.4 Simplicité du groupe projectif spécial linéaire......Page 369
22.5 Ordres de certaines matrices......Page 372
23.1 Applications semi-linéaires......Page 376
23.2 Formes sesquilinéaires......Page 377
23.3 Formes hermitiennes......Page 379
23.4 Adjoint d\'un endomorphisme......Page 381
23.5 Isotropie, théorème de Witt......Page 382
23.6 Équivalence de formes hermitiennes......Page 387
23.7 Formes hermitiennes et corps ordonnés......Page 389
23.8 Groupe unitaire, similitudes......Page 391
23.9 Groupe unitaire complexe......Page 393
24.1 Formes quadratiques......Page 396
24.2 Cas de la dimension 2......Page 399
24.3 Générateurs du groupe orthogonal......Page 401
24.4 Centre du groupe orthogonal......Page 403
24.5 Commutateurs dans le groupe orthogonal......Page 404
24.6 Groupe orthogonal euclidien......Page 406
25.1 Généralités......Page 412
25.2 Quaternions et groupes orthogonaux......Page 414
26.1 Généralités......Page 418
26.2 Déterminants de Gram......Page 421
26.3 Endomorphismes hermitiens......Page 422
26.4 Endomorphismes hermitiens positifs......Page 424
26.5 Endomorphismes normaux......Page 426
26.6 Décomposition polaire......Page 427
26.7 Quelques points de topologie......Page 429
27.1 Généralités......Page 434
27.2 Endomorphismes symétriques......Page 435
27.3 Similitudes......Page 437
27.4 Endomorphismes normaux......Page 439
27.5 Orientation......Page 440
27.6 Produit mixte, produit vectoriel......Page 441
27.7 Produit vectoriel en dimension 3......Page 443
27.8 Quelques points de topologie......Page 444
28.1 Numération des entiers......Page 446
28.2 Fonctions d\'Euler et de Moebius......Page 447
28.3 Loi de réciprocité quadratique......Page 448
28.4 Structure de certains groupes......Page 450
28.5 Étude des carrés......Page 452
28.6 Un cas particulier du théorème de Dirichlet......Page 453
Références bibliographiques......Page 454
Index de notations......Page 456
Index alphabétique......Page 458