Corps communicatifs et theorie de Galois: Cours et exercices

Préface......Page 8
Table des matières......Page 10
Avant-propos......Page 16
1. Conventions et notations......Page 18
2. Relations d\'ordre......Page 20
3. Corps des fractions......Page 21
4. Caractéristique d\'un anneau......Page 22
5. Corps premiers......Page 24
6. Théorème de d\'Alembert......Page 25
7. Fonction d\'Euler......Page 27
8. Fonction de Mobius......Page 29
9. Pseudo-anneaux......Page 30
10. Matrices et endomorphismes......Page 31
11. Exercices......Page 33
1. Notations......Page 38
2. Degré......Page 39
3. Valuation......Page 40
4. Divisions......Page 41
5. Propriétés arithmétiques......Page 43
6. Diviseurs, multiples......Page 44
7. Polynômes irréductibles......Page 46
8. Substitutions......Page 49
9. Zéros des polynômes......Page 50
10. Dérivations et formule de Taylor......Page 54
12. Polynômes réels......Page 56
13. Coefficients et racines......Page 58
14. Critères d\'irréductibilité......Page 60
15. Résultant et discriminant......Page 62
16. Exercices......Page 64
1. Notations......Page 68
2. Quotients......Page 69
3. Groupes résolubles......Page 72
4. Groupes symétriques......Page 75
5. Signature et groupe alterné......Page 78
6. Groupe symétrique et résolubilité......Page 81
7. Opérations de groupes......Page 83
8. Applications aux groupes......Page 85
9. Sous-groupes de Sylow......Page 88
10. Exercices......Page 90
1. Généralités......Page 94
2. Extensions algébriques......Page 96
3. Bases de transcendance......Page 99
4. Théorème de Luroth......Page 104
5. Norme et trace......Page 107
6. Exercices......Page 108
1. Homomorphismes et groupe de Galois......Page 112
2. Corps de rupture......Page 115
3. Clôture algébrique......Page 117
4. Extensions composées......Page 119
5. Extensions de décomposition......Page 120
6. Exercices......Page 124
1. Racines de l\'unité......Page 128
2. Commutativité des corps finis......Page 132
3. Propriétés des corps finis......Page 134
4. Polynômes irréductibles......Page 136
5. Quelques constructions explicites......Page 138
6. Exercices......Page 139
1. Polynômes séparables......Page 144
2. Corps parfaits......Page 146
3. Extensions séparables......Page 147
4. Séparabilité et homomorphismes......Page 148
5. Théorème de l\'élément primitif......Page 150
6. Degré séparable......Page 152
7. Extensions radicielles......Page 154
8. Fermeture séparable......Page 157
9. Clôture séparable......Page 158
10. Exercices......Page 159
1. Eléments conjugués......Page 162
2. Extensions normales......Page 163
3. Clôture normale......Page 166
4. Séparabilité et extensions normales......Page 167
5. Exercices......Page 169
1. Extensions galoisiennes......Page 172
2. Correspondance de Galois......Page 174
3. Inégalités entre indices et degrés......Page 176
4. Sous-extensions galoisiennes......Page 179
5. Un exemple......Page 180
6. Extensions abéliennes......Page 182
7. Extensions cycliques......Page 183
8. Applications......Page 186
9. Exercices......Page 190
1. Opération du groupe de Galois......Page 196
2. Groupes de Galois résolubles......Page 197
3. Extensions radicales......Page 199
4. Équations résolubles par radicaux......Page 201
5. Exemples......Page 204
6. Exercices......Page 206
1. Nombres de Fermat......Page 208
2. Deux nombres transcendants......Page 209
3. Points constructibles......Page 213
4. Corps et points constructibles......Page 216
5. Impossibilités classiques......Page 221
6. Polygones réguliers......Page 222
7. Exercices......Page 224
1. Anneaux ordonnés......Page 226
2. Corps ordonnés......Page 229
3. Carrés et corps ordonnés......Page 232
4. Extensions et corps ordonnés......Page 233
5. Extensions algébriques......Page 235
6. Corps ordonnés maximaux......Page 236
7. Exercices......Page 238
1. Suites convergentes et suites de Cauchy......Page 240
2. Corps des nombres réels......Page 243
3. Propriétés topologiques......Page 246
4. Propriétés algébriques......Page 249
5. Applications continues......Page 251
6. Une représentation des réels......Page 252
7. Une caractérisation des réels......Page 255
8. Exercices......Page 257
1. Généralités......Page 260
2. Substitutions......Page 261
3. Dérivations......Page 264
4. Polynômes symétriques......Page 266
5. Sommes de puissances......Page 268
6. Fractions rationnelles symétriques......Page 270
7. Une extension galoisienne......Page 271
8. Exercices......Page 272
1. Théorème de la base normale......Page 276
2. Permutations paires......Page 279
3. Extensions composées......Page 280
4. Interprétation du groupe de Galois......Page 283
5. Exercices......Page 287
1. Extensions linéairement disjointes......Page 290
2. Extensions algébriquement disjointes......Page 294
3. Extensions séparables......Page 298
4. Dérivations......Page 304
5. Extensions et dérivations......Page 307
6. Exercices......Page 312
1. Anneaux de fractions......Page 314
2. Dépendance intégrale......Page 319
3. Anneaux intégralement clos......Page 322
4. Relèvement des idéaux premiers......Page 324
5. Prolongement des homomorphismes......Page 325
6. Théorème des zéros......Page 327
7. Réductions et groupes de Galois......Page 329
8. Exercices......Page 333
1. Anneaux et corps différentiels......Page 336
2. Quelques résultats......Page 340
3. Extensions élémentaires......Page 343
4. Application......Page 349
5. Extensions de Picard-Vessiot......Page 350
6. Groupe de Galois différentiel......Page 354
7. Exercices......Page 355
Bibliographie......Page 358
Notations......Page 360
Index......Page 362