Convexity and Optimization in Finite Dimensions I

توسعه برنامه‌ریزی خطی توسط Dantzig به یکی از کاربردی‌ترین تکنیک‌های بهینه‌سازی، علاقه را به جبر نابرابری‌های خطی، هندسه چند وجهی، توپولوژی مجموعه‌های محدب، و تحلیل توابع محدب گسترش داده است. هدف این جلد ارائه خلاصه‌ای از این موضوعات است، و در نتیجه پس‌زمینه نظری برای محاسبات بهینه‌سازی محدب در جلد بعدی بررسی می‌شود. شرح هر فصل اساساً مستقل است و سعی دارد سبک خاصی از استدلال ریاضی را منعکس کند. تأکید بر نظریه دوگانگی خطی و محدب است، همانطور که توسط گیل، کوهن و تاکر، فنچل و در مقابل نویمان آغاز شد، زیرا نشان دهنده توسعه نظری است که تأثیر آن بر تکنیک های بهینه سازی مدرن برجسته ترین بوده است. فصل 5 و 6 به دو جنبه مشخصه نظریه دوگانگی اختصاص دارد: توابع مزدوج یا قطبیت از یک سو و نقاط زین از سوی دیگر. لم فارکاس در مورد نابرابری های خطی و تعمیم های آن، توصیف موتزکین از چند وجهی، قضیه صفحه پشتیبان مینکوفسکی ابزارهای ابتدایی ضروری هستند که به ترتیب در فصل های 1، 2 و 3 موجود است. درمان خواص اکسترمال چند وجهی و همچنین مجموعه‌های محدب عمومی بر اساس کار دوردست کلی است. فصل 2 با توضیح نمودارهای گیل، یک تکنیک موفق اخیراً توسعه یافته برای کاوش ساختارهای چند وجهی خاتمه می یابد.

Dantzig's development of linear programming into one of the most applicable optimization techniques has spread interest in the algebra of linear inequalities, the geometry of polyhedra, the topology of convex sets, and the analysis of convex functions. It is the goal of this volume to provide a synopsis of these topics, and thereby the theoretical back­ ground for the arithmetic of convex optimization to be treated in a sub­ sequent volume. The exposition of each chapter is essentially independent, and attempts to reflect a specific style of mathematical reasoning. The emphasis lies on linear and convex duality theory, as initiated by Gale, Kuhn and Tucker, Fenchel, and v. Neumann, because it represents the theoretical development whose impact on modern optimi­ zation techniques has been the most pronounced. Chapters 5 and 6 are devoted to two characteristic aspects of duality theory: conjugate functions or polarity on the one hand, and saddle points on the other. The Farkas lemma on linear inequalities and its generalizations, Motzkin's description of polyhedra, Minkowski's supporting plane theorem are indispensable elementary tools which are contained in chapters 1, 2 and 3, respectively. The treatment of extremal properties of polyhedra as well as of general convex sets is based on the far reaching work of Klee. Chapter 2 terminates with a description of Gale diagrams, a recently developed successful technique for exploring polyhedral structures.