Convergence of iterations for linear equations

فرض کنید که پس از پیش شرطی کردن، یک مسئله نقطه ثابت x = Lx + f (*) به ما داده می شود که در آن L یک عملگر خطی محدود است که متقارن فرض نمی شود و f یک بردار داده شده است. این کتاب در مورد همگرایی روش‌های زیرفضای کریلوف برای حل مسائل نقطه ثابت (*) بحث می‌کند و بر جنبه‌های دینامیکی فرآیندهای تکرار تمرکز دارد. برای مثال، شباهت‌های زیادی بین تکامل فرآیند زیرفضای کریلوف و نیم‌گروه‌های عملگر خطی، به‌ویژه در ابتدای تکرار وجود دارد. طول عمر یک تکرار معمولاً ممکن است با یک مرحله سریع اما کند شروع شود. چنین رفتاری ماهیت فرعی دارد و اساساً مستقل از تکی بودن یا نبودن مشکل است. سپس، برای مسائل غیر منفرد، تکرار ممکن است با سرعت خطی قبل از یک فاز فوق خطی ممکن اجرا شود. همه این مراحل بر اساس مکانیسم های ریاضی متفاوتی است که کتاب به آنها اشاره می کند. هدف این است که بدانیم چگونه به طور موثر پیش شرط کنیم، هم در مورد \"جبر خطی عددی\" (جایی که معمولاً فکر می کنیم ابتدا یک مسئله ابعاد محدود را حل کنیم) و هم در فضاهای تابعی که \"پیش شرطی کردن\" مطابقت دارد. به نرم افزاری که تقریباً مشکل اصلی را حل می کند.

Assume that after preconditioning we are given a fixed point problem x = Lx + f (*) where L is a bounded linear operator which is not assumed to be symmetric and f is a given vector. The book discusses the convergence of Krylov subspace methods for solving fixed point problems (*), and focuses on the dynamical aspects of the iteration processes. For example, there are many similarities between the evolution of a Krylov subspace process and that of linear operator semigroups, in particular in the beginning of the iteration. A lifespan of an iteration might typically start with a fast but slowing phase. Such a behavior is sublinear in nature, and is essentially independent of whether the problem is singular or not. Then, for nonsingular problems, the iteration might run with a linear speed before a possible superlinear phase. All these phases are based on different mathematical mechanisms which the book outlines. The goal is to know how to precondition effectively, both in the case of "numerical linear algebra" (where one usually thinks of first fixing a finite dimensional problem to be solved) and in function spaces where the "preconditioning" corresponds to software which approximately solves the original problem.