Continuous Functions of Vector Variables

این متن برای یک دوره یک ترم در آنچه که معمولاً محاسبات پیشرفته چند متغیر نامیده می شود مناسب است. تمرکز بر گسترش مفهوم تداوم است. به طور خاص، ما قضایای مربوط به مقادیر شدید و متوسط ​​را ایجاد می‌کنیم و نتایج مهم را در مورد توابع پیوسته یک متغیر واقعی تعمیم می‌دهیم. ما با در نظر گرفتن تابع f(x, y, ... ) چندین متغیر به عنوان تابعی از متغیر بردار منفرد (x, y, ... ) شروع می کنیم. به نظر می رسد که بیشتر n درمان نیازی به محدود شدن به فضاهای محدود بعدی R ندارد، بنابراین ما اغلب خود را در یک فضای برداری دلخواه مجهز به ابزار اندازه گیری مناسب قرار می دهیم. سپس به همان اندازه با توابع روی R پیش می‌رویم. ابتدا یک ساختار جبری و متریک به مجموعه بردارها می‌دهیم. سپس محدودیت‌هایی را تعریف می‌کنیم که منجر به مفهوم پیوستگی و ویژگی‌های توابع پیوسته می‌شود. در نهایت، برخی از مفاهیم توپولوژیکی را که در طول مسیر ظاهر می شوند، بزرگ می کنیم. درک کامل حساب تک متغیری یک نیاز اساسی است. دانش آموز باید با بدیهیات سیستم اعداد حقیقی آشنا باشد و بتواند از آنها برای ایجاد حساب ابتدایی یعنی تعریف اتصال پیوسته، مشتق و انتگرال و اثبات مهمترین ویژگی های ابتدایی آنها استفاده کند. آشنایی با این خواص ضروری است. برای کمک به خواننده، ما مراجعی برای قضایای مورد نیاز ارائه می دهیم.

This text is appropriate for a one-semester course in what is usually called ad­ vanced calculus of several variables. The focus is on expanding the concept of continuity; specifically, we establish theorems related to extreme and intermediate values, generalizing the important results regarding continuous functions of one real variable. We begin by considering the function f(x, y, ... ) of multiple variables as a function of the single vector variable (x, y, ... ). It turns out that most of the n treatment does not need to be limited to the finite-dimensional spaces R , so we will often place ourselves in an arbitrary vector space equipped with the right tools of measurement. We then proceed much as one does with functions on R. First we give an algebraic and metric structure to the set of vectors. We then define limits, leading to the concept of continuity and to properties of continuous functions. Finally, we enlarge upon some topological concepts that surface along the way. A thorough understanding of single-variable calculus is a fundamental require­ ment. The student should be familiar with the axioms of the real number system and be able to use them to develop elementary calculus, that is, to define continuous junction, derivative, and integral, and to prove their most important elementary properties. Familiarity with these properties is a must. To help the reader, we provide references for the needed theorems.