Constructive Methods of Wiener-Hopf Factorization

بخش اصلی این مقاله مربوط به عملگرهای Toeplitz است که نماد W یک تابع ماتریس m x m است که روی یک منحنی قطع شده r تعریف شده است. منحنی r به عنوان اتحاد s + 1 غیر متقاطع خطوط صاف بسته ساده rOo r • فرض می شود. . . • rs که مرز مثبت l یک دامنه محدود متصل محدود در t را تشکیل می دهند. نیاز اصلی ما بر روی نماد W این است که در هر کانتور rj تابع W محدودیت یک تابع ماتریس گویا Wj باشد که قطب و صفر روی rj و در بینهایت ندارد. با استفاده از قضیه تحقق از تئوری سیستم (نگاه کنید به. مثال • [1]. فصل 2) تابع ماتریس گویا Wj (که از کانتور به کانتور متفاوت است) ممکن است به شکل 1 (0. 1) W نوشته شود. (A) = I + C. (A - A. f B. A E r· J J J J J J که در آن Aj یک ماتریس مربع با اندازه nj x n• می باشد. B و C به ترتیب j j j ماتریس هایی با اندازه های n. x m و m x n. • هستند. و ماتریس های A. J x J J و Aj = Aj - BjC هیچ مقدار ویژه روی r ندارند. (در (0. 1) توابع j j Wj به I در بی نهایت نرمال می شوند.

The main part of this paper concerns Toeplitz operators of which the symbol W is an m x m matrix function defined on a disconnected curve r. The curve r is assumed to be the union of s + 1 nonintersecting simple smooth closed contours rOo r •. . . • rs which form the positively l oriented boundary of a finitely connected bounded domain in t. Our main requirement on the symbol W is that on each contour rj the function W is the restriction of a rational matrix function Wj which does not have poles and zeros on rj and at infinity. Using the realization theorem from system theory (see. e. g . • [1]. Chapter 2) the rational matrix function Wj (which differs from contour to contour) may be written in the form 1 (0. 1) W . (A) = I + C. (A - A. f B. A E r· J J J J J where Aj is a square matrix of size nj x n• say. B and C are j j j matrices of sizes n. x m and m x n . • respectively. and the matrices A. J x J J and Aj = Aj - BjC have no eigenvalues on r . (In (0. 1) the functions j j Wj are normalized to I at infinity.