Connectedness and Necessary Conditions for an Extremum

کتاب حاضر حاصل تلاش برای معرفی اتصال توپولوژیکی به عنوان یکی از ابزارهای اساسی برای مطالعه شرایط لازم برای یک اکسترم است. ظاهراً این تک نگاری اولین کتاب در تئوری ماکزیمم و حداقل است که در آن اتصال توپولوژیکی به طور گسترده برای این منظور مورد استفاده قرار گرفته است. کاربرد آن به ما اجازه می دهد تا نتایج جدیدی در این حوزه به دست آوریم و نتایج کلاسیک را از نقطه نظر غیر استاندارد در نظر بگیریم. در مورد سبک کتاب حاضر باید به این نکته اشاره کرد که نسبتاً ابتدایی است. نویسنده همواره تلاش کرده است تا کتاب را تا حد امکان خودکفا کند. مسلماً آشنایی با حقایق اولیه توپولوژی، تحلیل تابعی و تئوری بهینه سازی فرض می شود. این کتاب برای ریاضیدانان کاربردی و دانشجویان تحصیلات تکمیلی علاقه مند به تئوری بهینه سازی و کاربردهای آن نوشته شده است. ما سنتز روش شناخته شده Dybovitskii'-Milyutin را برای مطالعه شرایط لازم برای یک اکسترموم، بر اساس تحلیل عملکردی و روش‌های توپولوژیکی ارائه می‌کنیم. این سنتز به ما اجازه می‌دهد نشان دهیم که در برخی موارد نتیجه مهم زیر را داریم: اگر معادله اویلر در نقطه‌ای از یک انتها راه‌حل غیرمعمولی نداشته باشد، آنگاه مقداری شامل برای تابع‌های متعلق به فضای دوگانه معتبر است. این نتیجه کلی برای یک مسئله بهینه سازی در نظر گرفته شده در فضای توپولوژیکی گوش خطی به دست می آید. ما همچنین یک کاربرد از نتیجه خود را برای برخی از مسائل برنامه ریزی غیرخطی و کنترل بهینه نشان می دهیم.

The present book is the outcome of efforts to introduce topological connectedness as one of the basic tools for the study of necessary conditions for an extremum. Apparently this monograph is the first book in the theory of maxima and minima where topological connectedness is used so widely for this purpose. Its application permits us to obtain new results in this sphere and to consider the classical results from a nonstandard point of view. Regarding the style of the present book it should be remarked that it is comparatively elementary. The author has made constant efforts to make the book as self-contained as possible. Certainly, familiarity with the basic facts of topology, functional analysis, and the theory of optimization is assumed. The book is written for applied mathematicians and graduate students interested in the theory of optimization and its applications. We present the synthesis of the well known Dybovitskii'-Milyutin ap­ proach for the study of necessary conditions for an extremum, based on functional analysis, and topological methods. This synthesis allows us to show that in some cases we have the following important result: if the Euler equation has no non trivial solution at a point of an extremum, then some inclusion is valid for the functionals belonging to the dual space. This general result is obtained for an optimization problem considered in a lin­ ear topological space. We also show an application of our result to some problems of nonlinear programming and optimal control.