Conformal Symmetry Breaking Operators for Differential Forms on Spheres

این کار اولین مطالعه سیستماتیک در مورد همه عملگرهای دیفرانسیل کوواریانس همسو ممکن است که فرم‌های دیفرانسیل را روی یک منیفولد ریمانی X به شکل‌های روی یک زیرمنیفولد Y با تمرکز تبدیل می‌کنند. در فضای مدل (X، Y) = (Sⁿ، S^{n -1}).

نویسندگان یک طبقه‌بندی کامل از همه این عملگرهای دیفرانسیل کوواریانس هم‌نوع ارائه می‌دهند و فرمول صریح آن‌ها را در مختصات مسطح می‌یابند. اصطلاحات عملگرهای اساسی در هندسه دیفرانسیل و چند جمله ای های ابرهندسی کلاسیک خانواده‌های حاصل از عملگرها تعمیم‌های طبیعی براکت‌های Rankin-Cohen برای فرم‌های مدولار و عملگرهای Juhl از هولوگرافی منسجم هستند. هویت‌های فاکتورسازی با ارزش ماتریسی در میان همه ترکیب‌های ممکن از عملگرهای دیفرانسیل کوواریانس منطبق نیز ایجاد شده‌اند.

ماشین اصلی اثبات متکی بر "روش F" است که اخیراً توسط نویسندگان معرفی و توسعه داده شده است. این یک روش کلی برای ساخت عملگرهای درهم تنیده بین نمایش‌های القایی C^∞ یا یافتن بردارهای منفرد ماژول‌های ورما در چارچوب قوانین انشعاب، به عنوان راه‌حل معادلات دیفرانسیل است. سمت تبدیل فوریه این کتاب بسط جدیدی از روش F را به حالت با ارزش ماتریس در محیط کلی می دهد، که می تواند برای مسائل دیگر نیز اعمال شود.

این کتاب مقدمه ای مستقل برای تجزیه و تحلیل ارائه می دهد. عملگرهای شکست تقارن برای نمایش بی‌بعدی گروه‌های دروغ تقلیلی. این ویژگی برای دانشمندان فعال مفید خواهد بود و برای دانشجویان فارغ التحصیل و محققان جوان در هندسه دیفرانسیل، نظریه بازنمایی و فیزیک نظری قابل دسترسی خواهد بود.

This work is the first systematic study of all possible conformally covariant differential operators transforming differential forms on a Riemannian manifold X into those on a submanifold Y with focus on the model space (X, Y) = (Sⁿ, S^n-1).

The authors give a complete classification of all such conformally covariant differential operators, and find their explicit formulæ in the flat coordinates in terms of basic operators in differential geometry and classical hypergeometric polynomials. Resulting families of operators are natural generalizations of the Rankin–Cohen brackets for modular forms and Juhl's operators from conformal holography. The matrix-valued factorization identities among all possible combinations of conformally covariant differential operators are also established.

The main machinery of the proof relies on the "F-method" recently introduced and developed by the authors. It is a general method to construct intertwining operators between C^∞-induced representations or to find singular vectors of Verma modules in the context of branching rules, as solutions to differential equations on the Fourier transform side. The book gives a new extension of the F-method to the matrix-valued case in the general setting, which could be applied to other problems as well.

This book offers a self-contained introduction to the analysis of symmetry breaking operators for infinite-dimensional representations of reductive Lie groups. This feature will be helpful for active scientists and accessible to graduate students and young researchers in differential geometry, representation theory, and theoretical physics.