Computations in algebraic geometry with Macaulay 2

Cover......Page 1
Computations in algebraic geometry with Macaulay 2......Page 4
ISBN 3540422307......Page 5
Preface......Page 6
Table of Contents......Page 12
List of Contributors......Page 16
Part I Introducing Macaulay 2......Page 18
1 A Curve in Aÿne Three-Space......Page 20
2 Intersecting Our Curve With a Surface......Page 21
3 Changing the Ambient Polynomial Ring......Page 23
4 Monomials Under the Staircase......Page 25
5 Pennies, Nickels, Dimes and Quarters......Page 29
Projective Geometry and Homological Algebra......Page 34
1 The Twisted Cubic......Page 35
2 The Cotangent Bundle of P3......Page 37
3 The Cotangent Bundle of a Projective Variety......Page 41
4 Intersections by Serre’s Method......Page 43
5 A Mystery Variety in P3......Page 45
1 Basic Data Types......Page 58
2 Control Structures......Page 61
3 Input and Output......Page 63
4 Hash Tables......Page 65
5 Methods......Page 69
6 Pointers to the Source Code......Page 70
1 Distinguished Open Sets......Page 72
2 Irreducibility......Page 73
3 Singular Points......Page 75
4 Fields of De nition......Page 77
5 Multiplicity......Page 78
6 Flat Families......Page 79
7 B´ezout’s Theorem......Page 80
8 Constructing Blow-ups......Page 81
9 A Classic Blow-up......Page 82
10 Fano Schemes......Page 85
Part II Mathematical Computations......Page 88
Monomial Ideals......Page 90
1 The Basics of Monomial Ideals......Page 91
2 Primary Decomposition......Page 94
3 Standard Pairs......Page 100
4 Generic Initial Ideals......Page 106
5 The Chain Property......Page 112
1 Introduction......Page 118
2 Solving Systems of Polynomials......Page 120
3 Some Enumerative Geometry......Page 129
4 Schubert Calculus......Page 131
5 The 12 Lines: Reprise......Page 138
Resolutions and Cohomology over Complete Intersections......Page 148
1 Matrix Factorizations......Page 150
2 Graded Algebras......Page 156
3 Universal Homotopies......Page 158
4 Cohomology Operators......Page 162
5 Computation of Ext Modules......Page 167
6 Invariants of Modules......Page 174
7 Invariants of Pairs of Modules......Page 187
Algorithms for the Toric Hilbert Scheme......Page 196
1 Generating Monomial Ideals......Page 199
2 Polyhedral Geometry......Page 205
3 Local Equations......Page 210
4 The Coherent Component of the Toric Hilbert......Page 216
1 Introduction......Page 232
2 Basics of the Bernstein-Gel’fand-Gel’fand......Page 235
3 The Cohomology and the Tate Resolution of a Sheaf......Page 239
4 Cohomology and Vector Bundles......Page 243
5 Cohomology and Monads......Page 247
6 The Beilinson Monad......Page 253
7 Examples......Page 258
Needles in a Haystack: Special Varieties via Small Fields......Page 268
1 How to Make Random Curves up to Genus 14......Page 270
2 Comparing Green’s Conjecture for Curves......Page 280
3 Pfaÿan Calabi-Yau Threefolds in P6......Page 284
D-modules and Cohomology of Varieties......Page 298
1 Introduction......Page 299
2 The Weyl Algebra and Gr¨obner Bases......Page 302
3 Bernstein-Sato Polynomials and Localization......Page 309
4 Local Cohomology Computations......Page 321
5 Implementation, Examples, Questions......Page 330
Index......Page 342