Computational Methods in Optimal Control Problems

هدف از این گزارش ساده ارائه برخی از روش های محاسباتی است که در ده سال گذشته برای حل مسائل کنترل بهینه توسعه یافته اند. فقط روش هایی که بر اساس حداقل (حداکثر) اصل Pontriagin هستند در اینجا مورد بحث قرار می گیرند. خلاصه گزارش به شرح زیر است: در دو بخش اول یک مسئله کنترل بولزا تدوین شده و شرایط لازم در قالب اصل حداقل ارائه شده است. روش تندترین فرود و روش گرادیان مزدوج در بخش 3 مورد بحث قرار گرفته است. در بخش های باقی مانده، روش جاروی پی در پی، روش نیوتن-رافسون و روش نیوتن-رافسون تعمیم یافته (که روش شبه خطی نیز نامیده می شود) ارائه شده است. یک رویکرد یکپارچه که مبتنی بر استفاده از تقریب نیوتن رافسون برای شرایط ضروری بهینه است. روش تغییر دوم و سایر روش های تیراندازی مبتنی بر به حداقل رساندن یک تابع خطا نیز در نظر گرفته شده است. فهرست مطالب 1. 0 مقدمه 1 2. 0 شرایط لازم برای بهینه بودن •••••••• 2 3. 0 روش گرادیان 4 3. روش 1 دقیقه H و روش گرادیان مزدوج •. •••••••••. . . . ••••••. ••••••••. • 8 3. 2 محدودیت های مرزی ••••••••••••. ••••. • 9 3. 3 مشکلات با محدودیت های کنترل ••. •• 15 4. 0 روش جارو پی در پی • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •••••• 22 5. 0 روش تغییر دوم •••••••••••••••••••• 23 6. 0 روش تیراندازی •••••••••• ••••••••••••••••••••••••• 27 6. 1 روش نیوتن رافسون •••••••••••••••••• 27 6.

The purpose of this modest report is to present in a simplified manner some of the computational methods that have been developed in the last ten years for the solution of optimal control problems. Only those methods that are based on the minimum (maximum) principle of Pontriagin are discussed here. The autline of the report is as follows: In the first two sections a control problem of Bolza is formulated and the necessary conditions in the form of the minimum principle are given. The method of steepest descent and a conjugate gradient-method are dis­ cussed in Section 3. In the remaining sections, the successive sweep method, the Newton-Raphson method and the generalized Newton-Raphson method (also called quasilinearization method) ar~ presented from a unified approach which is based on the application of Newton­ Raphson approximation to the necessary conditions of optimality. The second-variation method and other shooting methods based on minimizing an error function are also considered. TABLE OF CONTENTS 1. 0 INTRODUCTION 1 2. 0 NECESSARY CONDITIONS FOR OPTIMALITY •••••••• 2 3. 0 THE GRADIENT METHOD 4 3. 1 Min H Method and Conjugate Gradient Method •. •••••••••. . . . ••••••. ••••••••. • 8 3. 2 Boundary Constraints •••••••••••. ••••. • 9 3. 3 Problems with Control Constraints ••. •• 15 4. 0 SUCCESSIVE SWEEP METHOD •••••••••••••••••••• 18 4. 1 Final Time Given Implicitly ••••. •••••• 22 5. 0 SECOND-VARIATION METHOD •••••••••••••••••••• 23 6. 0 SHOOTING METHODS ••••••••••••••••••••••••••• 27 6. 1 Newton-Raphson Method ••••••••••••••••• 27 6.