Computational Algebraic Number Theory

نظریه اعداد جبری محاسباتی در چند سال اخیر به دلیل کاربردهای بالقوه آن در نظریه کدگذاری و رمزنگاری مورد توجه گسترده‌ای قرار گرفته است. به همین دلیل، Deutsche Mathematiker Vereinigung یک سمینار مقدماتی فارغ التحصیلی در مورد این موضوع در دوسلدورف راه اندازی کرد. سخنرانی هایی که نویسنده در آنجا ارائه کرده است به عنوان پایه ای برای این کتاب عمل کرده است که امکان دسترسی سریع به وضعیت هنر در این زمینه را فراهم می کند. تاکید ویژه بر الگوریتم های عملی - که همگی در پنج سال گذشته توسعه یافته اند - برای محاسبه پایه های انتگرال، گروه واحد و گروه کلاس فیلدهای اعداد جبری دلخواه قرار گرفته است. مطالب: مقدمه • مباحث مربوط به میدان های محدود • حسابی و چندجمله ای ها • فاکتورسازی چندجمله ای ها • مباحثی از هندسه اعداد • شکل نرمال هرمیت • شبکه ها • کاهش • شمارش نقاط شبکه • فیلدهای اعداد جبری • مقدمه • محاسبات پایه انتگرال گیری اساس • بسته شدن انتگرال • روش دور-دو • روش دور-چهار • محاسبه گروه واحد • قضیه واحد دیریکله و یک کران تنظیم کننده • دو روش برای محاسبه r واحد مستقل • محاسبه واحد بنیادی • محاسبه گروه کلاس • ایده آل ها و شماره کلاس • روشی برای محاسبه گروه کلاس • پیوست • غربال فیلد عدد • KANT • مراجع • فهرست

Computational algebraic number theory has been attracting broad interest in the last few years due to its potential applications in coding theory and cryptography. For this reason, the Deutsche Mathematiker Vereinigung initiated an introductory graduate seminar on this topic in Düsseldorf. The lectures given there by the author served as the basis for this book which allows fast access to the state of the art in this area. Special emphasis has been placed on practical algorithms - all developed in the last five years - for the computation of integral bases, the unit group and the class group of arbitrary algebraic number fields. Contents: Introduction • Topics from finite fields • Arithmetic and polynomials • Factorization of polynomials • Topics from the geometry of numbers • Hermite normal form • Lattices • Reduction • Enumeration of lattice points • Algebraic number fields • Introduction • Basic Arithmetic • Computation of an integral basis • Integral closure • Round-Two-Method • Round-Four-Method • Computation of the unit group • Dirichlet's unit theorem and a regulator bound • Two methods for computing r independent units • Fundamental unit computation • Computation of the class group • Ideals and class number • A method for computing the class group • Appendix • The number field sieve • KANT • References • Index