Computability of Julia Sets

در میان تمام تصاویر ریاضی تولید شده توسط کامپیوتر، مجموعه نقشه های منطقی جولیا یکی از برجسته ترین موقعیت ها را به خود اختصاص داده است. زیبایی و پیچیدگی آنها می تواند جذاب باشد. آنها همچنین محتوای ریاضی عمیقی دارند.

سختی محاسباتی مجموعه های جولیا موضوع اصلی این کتاب است. طبق تعریف، یک مجموعه قابل محاسبه در هواپیما را می توان بر روی صفحه نمایش کامپیوتر با بزرگنمایی دلخواه بالا مشاهده کرد. برنامه های بی شماری برای ترسیم مجموعه جولیا وجود دارد. با این حال، همانطور که نویسندگان کشف کرده‌اند، می‌توان نمونه‌هایی از چندجمله‌ای درجه دوم را که مجموعه‌های جولیای آن‌ها قابل محاسبه نیستند به صورت سازنده تولید کرد. این نتیجه قابل توجه است - می گوید که در حالی که یک سیستم دینامیکی را می توان به صورت عددی با دقت دلخواه توصیف کرد، تصویر دینامیک قابل تجسم نیست.

این کتاب دانش موجود در مورد ویژگی‌های محاسباتی مجموعه‌های جولیا را به روشی مستقل خلاصه می‌کند. برای کارشناسان و دانشجویان علاقه مند به علوم کامپیوتر نظری یا سیستم های دینامیکی قابل دسترسی است.

Among all computer-generated mathematical images, Julia sets of rational maps occupy one of the most prominent positions. Their beauty and complexity can be fascinating. They also hold a deep mathematical content.

Computational hardness of Julia sets is the main subject of this book. By definition, a computable set in the plane can be visualized on a computer screen with an arbitrarily high magnification. There are countless programs to draw Julia sets. Yet, as the authors have discovered, it is possible to constructively produce examples of quadratic polynomials, whose Julia sets are not computable. This result is striking - it says that while a dynamical system can be described numerically with an arbitrary precision, the picture of the dynamics cannot be visualized.

The book summarizes the present knowledge about the computational properties of Julia sets in a self-contained way. It is accessible to experts and students with interest in theoretical computer science or dynamical systems.