Complexity Theory of Real Functions

با شروع کار پیشگام کوک در مورد کامل بودن NP در سال 1970، نظریه پیچیدگی چند جمله ای، مطالعه قابلیت محاسبه زمان چند جمله ای، به سرعت به عنوان پایه جدید الگوریتم ها ظاهر شد. از یک طرف، شکاف بین رویکرد انتزاعی نظریه توابع بازگشتی و رویکرد عینی تحلیل الگوریتم ها را پر می کند. این مفاهیم و ابزارهای تئوری محاسبات را گسترش می دهد تا یک پایه نظری محکم برای مطالعه پیچیدگی محاسباتی مسائل عملی فراهم کند. علاوه بر این، مطالعات نظری در مورد مفهوم کشش پذیری چند جمله‌ای-زمان گاهی اوقات الگوریتم‌های کاربردی جدید جالبی را به دست می‌دهند. یک مثال معمولی استفاده از الگوریتم بیضی برای مسائل بهینه سازی ترکیبی است (به عنوان مثال، Lovasz [1986] را ببینید). از سوی دیگر، تأثیر زیادی بر بسیاری از شاخه‌های مختلف ریاضیات از جمله بهینه‌سازی ترکیبی، نظریه گراف، نظریه اعداد و رمزنگاری دارد. در نتیجه، بسیاری از محققان شروع به بررسی مجدد شاخه های مختلف ریاضیات کلاسیک از نقطه نظر پیچیدگی کرده اند. برای یک قضیه وجود غیر سازنده معین در ریاضیات کلاسیک، می‌خواهیم یک برهان سازنده پیدا کنیم که یک الگوریتم زمان چند جمله‌ای را برای جواب بپذیرد. یکی از نمونه‌ها، کار اخیر بر روی نظریه الگوریتمی گروه‌های جهش است. در حوزه محاسبات عددی، دو رویکرد سنتی مستقل نیز وجود دارد: تحلیل بازگشتی و تحلیل عددی.

Starting with Cook's pioneering work on NP-completeness in 1970, polynomial complexity theory, the study of polynomial-time com­ putability, has quickly emerged as the new foundation of algorithms. On the one hand, it bridges the gap between the abstract approach of recursive function theory and the concrete approach of analysis of algorithms. It extends the notions and tools of the theory of computability to provide a solid theoretical foundation for the study of computational complexity of practical problems. In addition, the theoretical studies of the notion of polynomial-time tractability some­ times also yield interesting new practical algorithms. A typical exam­ ple is the application of the ellipsoid algorithm to combinatorial op­ timization problems (see, for example, Lovasz [1986]). On the other hand, it has a strong influence on many different branches of mathe­ matics, including combinatorial optimization, graph theory, number theory and cryptography. As a consequence, many researchers have begun to re-examine various branches of classical mathematics from the complexity point of view. For a given nonconstructive existence theorem in classical mathematics, one would like to find a construc­ tive proof which admits a polynomial-time algorithm for the solution. One of the examples is the recent work on algorithmic theory of per­ mutation groups. In the area of numerical computation, there are also two tradi­ tionally independent approaches: recursive analysis and numerical analysis.