Complexity and Approximation: Combinatorial Optimization Problems and Their Approximability Properties

N برنامه های کامپیوتری که ما عادت داریم با تقریب زندگی کنیم. مفاهیم گوناگون تقریب، در واقع، در بسیاری از شرایط ظاهر می شوند. یک مثال قابل توجه، نوع تقریبی است که در تحلیل عددی یا هندسه محاسباتی از این واقعیت ناشی می شود که ما نمی توانیم محاسبات را با دقت دلخواه انجام دهیم و باید نمایش اعداد واقعی را کوتاه کنیم. در موارد دیگر، ما برای تقریب اشیاء پیچیده ریاضی با موارد ساده‌تر استفاده می‌کنیم: برای مثال، ما گاهی اوقات توابع غیرخطی را با استفاده از توابع خطی تکه‌ای نشان می‌دهیم. نیاز به حل مسائل دشوار بهینه سازی دلیل دیگری است که ما را مجبور می کند با تقریب مقابله کنیم. به ویژه، زمانی که یک مسئله از نظر محاسباتی سخت است (به عنوان مثال، تنها راهی که برای حل آن می دانیم استفاده از الگوریتمی است که در زمان نمایی اجرا می شود)، ممکن است عملاً تلاش برای محاسبه راه حل دقیق غیرممکن باشد، زیرا ممکن است حتی با کمک کامپیوترهای موازی قدرتمند به ماه ها یا سال ها زمان ماشین نیاز دارد. در چنین مواردی، ممکن است تصمیم بگیریم خودمان را به محاسبه یک راه حل محدود کنیم که اگرچه راه حل بهینه نیست، اما نزدیک به بهینه است و ممکن است در زمان چند جمله ای تعیین شود. ما این نوع راه حل را حل تقریبی و الگوریتم مربوطه را الگوریتم تقریب چند جمله ای زمان می نامیم. اکثر مسائل بهینه‌سازی ترکیبی که ارتباط عملی زیادی دارند، در واقع، از نظر محاسباتی در مفهوم فوق غیرقابل حل هستند. در شرایط رسمی، آنها به عنوان مسائل بهینه سازی Np-hard طبقه بندی می شوند.

N COMPUTER applications we are used to live with approximation. Var­ I ious notions of approximation appear, in fact, in many circumstances. One notable example is the type of approximation that arises in numer­ ical analysis or in computational geometry from the fact that we cannot perform computations with arbitrary precision and we have to truncate the representation of real numbers. In other cases, we use to approximate com­ plex mathematical objects by simpler ones: for example, we sometimes represent non-linear functions by means of piecewise linear ones. The need to solve difficult optimization problems is another reason that forces us to deal with approximation. In particular, when a problem is computationally hard (i. e. , the only way we know to solve it is by making use of an algorithm that runs in exponential time), it may be practically unfeasible to try to compute the exact solution, because it might require months or years of machine time, even with the help of powerful parallel computers. In such cases, we may decide to restrict ourselves to compute a solution that, though not being an optimal one, nevertheless is close to the optimum and may be determined in polynomial time. We call this type of solution an approximate solution and the corresponding algorithm a polynomial-time approximation algorithm. Most combinatorial optimization problems of great practical relevance are, indeed, computationally intractable in the above sense. In formal terms, they are classified as Np-hard optimization problems.