Complex Monge–Ampère Equations and Geodesics in the Space of Kähler Metrics

هدف از این یادداشت‌های سخنرانی ارائه مقدمه‌ای بر نظریه عملگرهای پیچیده Monge-Ampère (تعریف، مسائل مربوط به نظم، ویژگی‌های هندسی راه‌حل‌ها، تقریب) در منیفولدهای فشرده کاهلر (با یا بدون مرز) است.
این عملگرها در چندین مسئله اساسی هندسه دیفرانسیل پیچیده (معادله کهلر-اینشتین، منحصر به فرد بودن معیارهای انحنای اسکالر ثابت)، تجزیه و تحلیل پیچیده و دینامیک کاربرد مرکزی دارند. موضوعات پوشش داده شده عبارتند از، مسئله دیریکله (بعد از بدفورد-تیلور)، شاخ و برگ های مونگ-آمپر و جریان های چند لایه، بدنه های چندجمله ای و پاکت های پرون بدون ساختار تحلیلی، ارائه مستقل از نتایج نظم کریلوف، اثبات مدرنی از کالابی- قضیه Yau (پس از Yau و Kolodziej)، مقدمه‌ای بر هندسه ریمانی بی‌بعدی، ساختارهای هندسی در فضاهای متریک کاهلر (پس از Mabuchi، Semmes و Donaldson)، تعمیم‌های نظریه نظم کافه‌لی–کوهن–نیرنبرگ–اسپراک، چن و بلوکی) و تقریب ژئودزیک برگمن (بعد از فونگ استورم و برندتسسون).

هر فصل را می توان به طور مستقل خواند و بر اساس مجموعه ای از سخنرانی های R. Berman، Z. Blocki، S. Boucksom، F. Delarue، R. Dujardin، B. Kolev و A. Zeriahi، تحویل افراد غیر متخصص. بنابراین خطاب به هر ریاضیدانی که به یکی از زمینه‌های زیر علاقه دارد، هندسه دیفرانسیل پیچیده، تجزیه و تحلیل پیچیده، دینامیک پیچیده، PDE‌های کاملا غیرخطی و تحلیل تصادفی است.

The purpose of these lecture notes is to provide an introduction to the theory of complex Monge–Ampère operators (definition, regularity issues, geometric properties of solutions, approximation) on compact Kähler manifolds (with or without boundary).
These operators are of central use in several fundamental problems of complex differential geometry (Kähler–Einstein equation, uniqueness of constant scalar curvature metrics), complex analysis and dynamics. The topics covered include, the Dirichlet problem (after Bedford–Taylor), Monge–Ampère foliations and laminated currents, polynomial hulls and Perron envelopes with no analytic structure, a self-contained presentation of Krylov regularity results, a modernized proof of the Calabi–Yau theorem (after Yau and Kolodziej), an introduction to infinite dimensional riemannian geometry, geometric structures on spaces of Kähler metrics (after Mabuchi, Semmes and Donaldson), generalizations of the regularity theory of Caffarelli–Kohn–Nirenberg–Spruck (after Guan, Chen and Blocki) and Bergman approximation of geodesics (after Phong–Sturm and Berndtsson).

Each chapter can be read independently and is based on a series of lectures by R. Berman, Z. Blocki, S. Boucksom, F. Delarue, R. Dujardin, B. Kolev and A. Zeriahi, delivered to non-experts. The book is thus addressed to any mathematician with some interest in one of the following fields, complex differential geometry, complex analysis, complex dynamics, fully non-linear PDE's and stochastic analysis.