Completeness and Reduction in Algebraic Complexity Theory

یکی از مهم ترین و موفق ترین تئوری ها در پیچیدگی محاسباتی، کامل بودن NP است. این نظریه گسسته بر اساس مدل ماشین تورینگ است و به طبقه‌بندی مسائل محاسباتی گسسته بر اساس دشواری الگوریتمی آنها دست می‌یابد. ماشین‌های تورینگ، گوریتم‌هایی را رسمی می‌کنند که روی رشته‌های محدود نمادها بر روی یک الفبای محدود کار می‌کنند. در مقابل، در مدل‌های جبری محاسبات، مرحله محاسباتی پایه، یک عملیات محاسباتی (یا مقایسه) از عناصر یک میدان ثابت، برای اعداد واقعی است. بدین وسیله یک حساب دقیق را فرض می کند. در سال 1989، Blum، Shub و Smale [12] مدل‌های جبری محاسباتی موجود را با مفهوم یکنواختی ترکیب کردند و تئوری NP-کاملیت بیش از واقعیات را توسعه دادند (BSS-model). مقاله آنها علاقه مجددی را در زمینه پیچیدگی جبری ایجاد کرد و مسیرهای تحقیقاتی جدیدی را آغاز کرد. هدف نهایی مدل BSS (و الحاقات آتی آن) این است که نظریه پیچیدگی گسسته کلاسیک را با تجزیه و تحلیل عددی متحد کند و در نتیجه پایه عمیق تری از محاسبات علمی ارائه دهد (ر.ک. [11، 101]). ده سال قبل از مقاله BSS، والیانت [107، 110] یک آنالوگ از تئوری کامل بودن NP را در یک چارچوب کاملا جبری، در رابطه با نتیجه سختی معروف خود برای دائمی [108] ارائه کرده بود. در حالی که بخشی از نظریه او بر اساس رویکرد تورینگ (#P-کامل بودن) در حال حاضر استاندارد و در میان جامعه نظری علوم کامپیوتر شناخته شده است، نتیجه کامل جبری او برای دائمی ها بسیار کمتر مورد توجه قرار گرفت.

One of the most important and successful theories in computational complex­ ity is that of NP-completeness. This discrete theory is based on the Turing machine model and achieves a classification of discrete computational prob­ lems according to their algorithmic difficulty. Turing machines formalize al­ gorithms which operate on finite strings of symbols over a finite alphabet. By contrast, in algebraic models of computation, the basic computational step is an arithmetic operation (or comparison) of elements of a fixed field, for in­ stance of real numbers. Hereby one assumes exact arithmetic. In 1989, Blum, Shub, and Smale [12] combined existing algebraic models of computation with the concept of uniformity and developed a theory of NP-completeness over the reals (BSS-model). Their paper created a renewed interest in the field of algebraic complexity and initiated new research directions. The ultimate goal of the BSS-model (and its future extensions) is to unite classical dis­ crete complexity theory with numerical analysis and thus to provide a deeper foundation of scientific computation (cf. [11, 101]). Already ten years before the BSS-paper, Valiant [107, 110] had proposed an analogue of the theory of NP-completeness in an entirely algebraic frame­ work, in connection with his famous hardness result for the permanent [108]. While the part of his theory based on the Turing approach (#P-completeness) is now standard and well-known among the theoretical computer science com­ munity, his algebraic completeness result for the permanents received much less attention.