Comparison Principles for General Potential Theories and PDEs: (AMS-218)

بررسی رابطه همزیستی و مولد بین معادلات دیفرانسیل جزئی کاملا غیرخطی و نظریه‌های پتانسیل تعمیم‌یافته

در سال‌های اخیر، یک رابطه همزیستی و مولد بین جزئی کاملا غیرخطی ایجاد شده است. معادلات دیفرانسیل و نظریه های پتانسیل تعمیم یافته این کتاب به بررسی جنبه های مهم این داستان می پردازد. یکی از اهداف اصلی این است که اصول مقایسه نظریه‌های پتانسیل غیرخطی در فضاهای اقلیدسی را به طور مستقیم از دوگانگی و یکنواختی تحت ضعیف‌ترین تصور ممکن از بیضی بودن اثبات کنیم. این کتاب همچنین نشان می‌دهد که چگونه می‌توان اصول مقایسه را برای عملگرهای دیفرانسیل غیرخطی، با تلفیق این دو دیدگاه، تحت اصل مطابقت، استنباط کرد.

نویسندگان توضیح می‌دهند که اصول مقایسه در هر دو زمینه اساسی هستند، زیرا دلالت بر منحصر به فرد بودن برای مشکل دیریکله هنگامی که با هندسه های مرزی مناسب ترکیب می شوند و توابع مانع مناسب را به دست می آورند، با روش پرون نیز وجود دارند. فرصت های زیادی برای لقاح متقابل و هم افزایی وجود دارد. در تئوری پتانسیل، به یک مجموعه محدودیتی از 2 جت داده می شود که عملکردهای ساب هارمونیک آن را تعیین می کند. مجموعه محدودیت همچنین خانواده ای از عملگرهای دیفرانسیل سازگار را تعیین می کند. از آنجایی که چنین عملگرهای زیادی وجود دارد، نظریه پتانسیل نظریه عملگر را تقویت و ساده می کند. برعکس، مجموعه ای از عملگرهای مرتبط با محدودیت می تواند بر نظریه پتانسیل تأثیر بگذارد.

An examination of the symbiotic and productive relationship between fully nonlinear partial differential equations and generalized potential theories

In recent years, there has evolved a symbiotic and productive relationship between fully nonlinear partial differential equations and generalized potential theories. This book examines important aspects of this story. One main purpose is to prove comparison principles for nonlinear potential theories in Euclidian spaces straightforwardly from duality and monotonicity under the weakest possible notion of ellipticity. The book also shows how to deduce comparison principles for nonlinear differential operators, by marrying these two points of view, under the correspondence principle.

The authors explain that comparison principles are fundamental in both contexts, since they imply uniqueness for the Dirichlet problem. When combined with appropriate boundary geometries, yielding suitable barrier functions, they also give existence by Perron’s method. There are many opportunities for cross-fertilization and synergy. In potential theory, one is given a constraint set of 2-jets that determines its subharmonic functions. The constraint set also determines a family of compatible differential operators. Because there are many such operators, potential theory strengthens and simplifies the operator theory. Conversely, the set of operators associated with the constraint can influence the potential theory.