Commutative Harmonic Analysis I: General Survey. Classical Aspects

این جلد اولین جلد از مجموعه است که به تجزیه و تحلیل هارمونیک جابجایی، بخشی اساسی از ریاضیات معاصر اختصاص دارد. با این حال، ماهیت اساسی این موضوع از مدت ها قبل مشخص شده است، که بر خلاف مجلدهای دیگر این نشریه، باید با مفاهیم ساده ای شروع کنیم که دائماً در ریاضیات و فیزیک مورد استفاده قرار گرفته اند. با برنامه‌ریزی مجموعه به‌عنوان یک کل، فرض کرده‌ایم که تحلیل هارمونیک مبتنی بر تعداد کمی بدیهیات است که به سادگی و به وضوح بر اساس نظریه گروهی که منابع ایده‌های آن را نشان می‌دهد، فرمول‌بندی شده‌اند. با این حال، موضوع ما را نمی توان به طور کامل به آن بدیهیات تقلیل داد. این بخش از ریاضیات به قدری توسعه یافته است و جنبه های مختلفی دارد که هیچ طرح انتزاعی قادر به پوشش کامل عینیت عظیم آن نیست. به طور خاص، به مجموعه عظیمی از حقایق انباشته شده توسط تحلیل هارمونیک کلاسیک "مثلثاتی" مربوط می شود. علاوه بر این، با توجه به یک گرایش ریاضی کلی از ادغام و انتشار مرزهای بین موضوعی مرسوم، تحلیل هارمونیک، در شکل مدرن خود، بیشتر و بیشتر بر ساختارهای ثابت غیر ترجمه تکیه می کند. به عنوان مثال، یکی از مهم ترین دستاوردهای دهه های اخیر، که به طور اساسی شکل کل تحلیل هارمونیک را تغییر داده است، نفوذ در این موضوع از تکنیک های ظریف عملگرهای انتگرال منفرد است.

This volume is the first in the series devoted to the commutative harmonic analysis, a fundamental part of the contemporary mathematics. The fundamental nature of this subject, however, has been determined so long ago, that unlike in other volumes of this publication, we have to start with simple notions which have been in constant use in mathematics and physics. Planning the series as a whole, we have assumed that harmonic analysis is based on a small number of axioms, simply and clearly formulated in terms of group theory which illustrate its sources of ideas. However, our subject cannot be completely reduced to those axioms. This part of mathematics is so well developed and has so many different sides to it that no abstract scheme is able to cover its immense concreteness completely. In particular, it relates to an enormous stock of facts accumulated by the classical "trigonometric" harmonic analysis. Moreover, subjected to a general mathematical tendency of integration and diffusion of conventional intersubject borders, harmonic analysis, in its modem form, more and more rests on non-translation invariant constructions. For example, one ofthe most signifi­ cant achievements of latter decades, which has substantially changed the whole shape of harmonic analysis, is the penetration in this subject of subtle techniques of singular integral operators.