Commutative Algebra and its Interactions to Algebraic Geometry

این کتاب چهار سخنرانی در مورد تحقیقات اخیر در جبر جابه‌جایی و کاربردهای آن در هندسه جبری ارائه می‌کند. این سخنرانی ها با هدف پژوهشگران و دانشجویان فارغ التحصیل با پیشینه پیشرفته در جبر، در طول برنامه جبر جابه جایی برگزار شد که در موسسه مطالعات پیشرفته ریاضیات ویتنام در ترم زمستان 2013-2014 برگزار شد. اولین سخنرانی در مورد جبرهای ویل (حلقه‌های معینی از عملگرهای دیفرانسیل) و ماژول‌های D آن‌ها است، که جبر غیر جابجایی و جابجایی را با هندسه جبری و تجزیه و تحلیل به روشی بسیار جذاب مرتبط می‌کند. سخنرانی دوم مربوط به سیستم های محلی، منشأ همسانی آنها، و کاربردها در طبقه بندی حلقه های گورنشتاین آرتین و محاسبه متغیرهای آنها است. سخنرانی سوم در مورد نوع بازنمایی واریته‌های تصویری و طبقه‌بندی حسابی دسته‌های کوهن - مکالی و دسته‌های اولریش است. موضوعات مرتبط مانند فضاهای مدول شیوها، تئوری رابط، وضوح حداقل، و طرح های هیلبرت از نقاط نیز پوشش داده شده است. آخرین سخنرانی به یک مسئله کلاسیک می پردازد: چند معادله برای تعریف یک مجموعه جبری از نظر نظری لازم است؟ این به طور سیستماتیک نتایج اخیر را در مورد انواع توریک پوشش می دهد (و بهبود می بخشد).

This book presents four lectures on recent research in commutative algebra and its applications to algebraic geometry. Aimed at researchers and graduate students with an advanced background in algebra, these lectures were given during the Commutative Algebra program held at the Vietnam Institute of Advanced Study in Mathematics in the winter semester 2013 -2014. The first lecture is on Weyl algebras (certain rings of differential operators) and their D-modules, relating non-commutative and commutative algebra to algebraic geometry and analysis in a very appealing way. The second lecture concerns local systems, their homological origin, and applications to the classification of Artinian Gorenstein rings and the computation of their invariants. The third lecture is on the representation type of projective varieties and the classification of arithmetically Cohen -Macaulay bundles and Ulrich bundles. Related topics such as moduli spaces of sheaves, liaison theory, minimal resolutions, and Hilbert schemes of points are also covered. The last lecture addresses a classical problem: how many equations are needed to define an algebraic variety set-theoretically? It systematically covers (and improves) recent results for the case of toric varieties.