Combinatorial Methods: Free Groups, Polynomials, and Free Algebras

هدف اصلی این کتاب این است که نشان دهد چگونه ایده های نظریه گروه های ترکیبی به دو حوزه دیگر از ریاضیات گسترش یافته است: نظریه جبرهای دروغ و هندسه جبری وابسته. برخی از این ایده ها به نوبه خود از توپولوژی کم بعدی در اوایل قرن بیستم به نظریه گروه ترکیبی رسیدند.

این کتاب به سه بخش نسبتاً مستقل تقسیم شده است. بخش اول شرح مختصری از چندین تکنیک کلاسیک در نظریه گروه ترکیبی، یعنی روش‌های نیلسن، وایتهد، و تیتزه ارائه می‌دهد. بخش دوم شامل تمرکز اصلی کتاب است. در اینجا نویسندگان نشان می‌دهند که چگونه تکنیک‌های فوق‌الذکر نظریه گروه‌های ترکیبی راه خود را به هندسه جبری وابسته پیدا کردند، حوزه‌ای جذاب از ریاضیات که چند جمله‌ای‌ها و نگاشت چند جمله‌ای را مطالعه می‌کند. بخش سوم نشان می‌دهد که چگونه ایده‌های نظریه گروه‌های ترکیبی به نظریه جبرهای آزاد کمک کردند. در اینجا تمرکز بر انواع جبرهای شرایر است (در صورتی که هر جبر فرعی از جبر آزاد از این تنوع در همان جبرها آزاد باشد، به انواع جبرها شرایر گفته می شود).

The main purpose of this book is to show how ideas from combinatorial group theory have spread to two other areas of mathematics: the theory of Lie algebras and affine algebraic geometry. Some of these ideas, in turn, came to combinatorial group theory from low-dimensional topology in the beginning of the 20th Century.

This book is divided into three fairly independent parts. Part I provides a brief exposition of several classical techniques in combinatorial group theory, namely, methods of Nielsen, Whitehead, and Tietze. Part II contains the main focus of the book. Here the authors show how the aforementioned techniques of combinatorial group theory found their way into affine algebraic geometry, a fascinating area of mathematics that studies polynomials and polynomial mappings. Part III illustrates how ideas from combinatorial group theory contributed to the theory of free algebras. The focus here is on Schreier varieties of algebras (a variety of algebras is said to be Schreier if any subalgebra of a free algebra of this variety is free in the same variety of algebras).