COMBINATORIAL METHODS AND MODELS 4

جلد چهارم از سخنرانی های رودولف اهلسوید در مورد نظریه اطلاعات بر روی ترکیبیات متمرکز است. Ahlswede در ابتدا برای مطالعه جنبه های ترکیبی نظریه اطلاعات از طریق کدهای خطای صفر انگیزه داشت: در این مورد ساختار مسائل کدگذاری معمولاً به شدت از احتمالاتی به ترکیبی تغییر می کند. بهترین مثال ظرفیت خطای صفر شانون است که در آن مجموعه های مستقل در نمودارها باید بررسی شوند. گسترش کانال های دسترسی چندگانه منجر به مشکل Zarankiewicz می شود.

یک کد را می توان به صورت ترکیبی به عنوان یک هایپرگراف در نظر گرفت. و بسیاری از قضایای کدگذاری را می توان با رنگ آمیزی مناسب یا پوشش هایپرگراف های زیرین به دست آورد. چندین تکنیک رنگ آمیزی و پوشش و کاربردهای آن در این کتاب معرفی شده است. علاوه بر این، کدهای تولید شده توسط جایگشت ها و یکی از زمینه های تحقیقاتی مورد علاقه Ahlswede - مشکلات شدید در ترکیبات - ارائه شده است.

در حالی که بخش اول کتاب بر روش‌های ترکیبی متمرکز است تا کدهای کلاسیک را به عنوان کدهای پیشوند یا کد در متریک همینگ تحلیل کند، بخش دوم به مدل‌های ترکیبی در تئوری اطلاعات اختصاص دارد. در اینجا مفهوم کد از قبل بر یک ساختار ترکیبی تکیه دارد، مانند چندین مدل بتنی کانال‌های دسترسی چندگانه یا اعوجاج‌های دقیق‌تر. یک ابزار تحلیلی که به‌ویژه در هنگام تحلیل کدهای کامل به کار می‌رود، استفاده از چندجمله‌ای متعامد است.

پردازش اطلاعات کلاسیک به وظایف اصلی کسب دانش و ذخیره سازی، انتقال و پنهان کردن داده ها مربوط می شود. اولین وظیفه، هدف اصلی آمار است. برای انتقال و پنهان کردن داده ها، شانون یک نظریه ریاضی تاثیرگذار به نام نظریه اطلاعات ایجاد کرد که بر اساس مدل های احتمالی استوار بود. این تئوری تا حد زیادی شامل مفهوم کدهایی با احتمال خطای کوچک با وجود نویز در انتقال است که توسط کانال ها مدل سازی می شود. سخنرانی های ارائه شده در این کار برای دانشجویان کارشناسی ارشد ریاضی و همچنین برای کسانی که در علوم کامپیوتر نظری، فیزیک و مهندسی برق با پیشینه ریاضیات پایه کار می کنند مناسب است. سخنرانی ها می توانند به عنوان پایه ای برای دوره ها یا مکمل دوره ها به طرق مختلف مورد استفاده قرار گیرند. Ph.D. دانش‌آموزان همچنین مشکلات تحقیقاتی، اغلب با حدس‌ها، که موضوعات بالقوه برای پایان‌نامه را ارائه می‌دهند، پیدا خواهند کرد. محققان پیشرفته تر ممکن است سوالاتی را بیابند که اساس کل برنامه های تحقیقاتی را تشکیل می دهد.

</ div>

The fourth volume of Rudolf Ahlswede’s lectures on Information Theory is focused on Combinatorics. Ahlswede was originally motivated to study combinatorial aspects of Information Theory via zero-error codes: in this case the structure of the coding problems usually drastically changes from probabilistic to combinatorial. The best example is Shannon’s zero error capacity, where independent sets in graphs have to be examined. The extension to multiple access channels leads to the Zarankiewicz problem.

A code can be regarded combinatorially as a hypergraph; and many coding theorems can be obtained by appropriate colourings or coverings of the underlying hypergraphs. Several such colouring and covering techniques and their applications are introduced in this book. Furthermore, codes produced by permutations and one of Ahlswede’s favourite research fields -- extremal problems in Combinatorics -- are presented.  

Whereas the first part of the book concentrates on combinatorial methods in order to analyse classical codes as prefix codes or codes in the Hamming metric, the second is devoted to combinatorial models in Information Theory. Here the code concept already relies on a rather combinatorial structure, as in several concrete models of multiple access channels or more refined distortions. An analytical tool coming into play, especially during the analysis of perfect codes, is the use of orthogonal polynomials.

Classical information processing concerns the main tasks of gaining knowledge and the storage, transmission and hiding of data. The first task is the prime goal of Statistics. For transmission and hiding data, Shannon developed an impressive mathematical theory called Information Theory, which he based on probabilistic models. The theory largely involves the concept of codes with small error probabilities in spite of noise in the transmission, which is modeled by channels. The lectures presented in this work are suitable for graduate students in Mathematics, and also for those working in Theoretical Computer Science, Physics, and Electrical Engineering with a background in basic Mathematics. The lectures can be used as the basis for courses or to supplement courses in many ways. Ph.D. students will also find research problems, often with conjectures, that offer potential subjects for a thesis. More advanced researchers may find questions which form the basis of entire research programs.