Cohomology of Infinite-Dimensional Lie Algebras

شکی وجود ندارد که هم‌شناسی جبرهای دروغ با ابعاد نامتناهی مستحق یک نمودار تکی مختصر و جداگانه است. این موضوع توسط هیچ یک از شاخه های سنتی ریاضیات پوشش داده نمی شود و با اثبات های نسبتا ابتدایی و کاربردهای متنوع مشخص می شود. علاوه بر این، موضوع به طور گسترده در مقالات تحقیقاتی مختلف پراکنده است یا فقط به صورت کلامی وجود دارد. نظریه جبرهای دروغ نامتناهی به طور قابل توجهی با نظریه جبرهای Lie با ابعاد محدود متفاوت است، زیرا جبرهای Lie دارای مفاهیم طبقه‌بندی قدرتمندی هستند که معمولاً به فرد اجازه می‌دهند هر جبر دروغ با ابعاد محدود را «تشخیص» کند (در حوزه مختلط). یا اعداد واقعی)، یعنی آن را در لیستی پیدا کنید. قضایای طبقه بندی نیز در نظریه جبراهای دروغ نامتناهی وجود دارد، اما آنها با محدودیت های قوی با ویژگی فنی مواجه هستند. این قضایا عمدتاً به این دلیل مفید هستند که منبع قابل توجهی از مثال های جالب را ارائه می دهند. ما با فهرستی از این نمونه‌ها شروع می‌کنیم و تلاش‌های اصلی خود را بیشتر به مطالعه آنها هدایت می‌کنیم.

There is no question that the cohomology of infinite­ dimensional Lie algebras deserves a brief and separate mono­ graph. This subject is not cover~d by any of the tradition­ al branches of mathematics and is characterized by relative­ ly elementary proofs and varied application. Moreover, the subject matter is widely scattered in various research papers or exists only in verbal form. The theory of infinite-dimensional Lie algebras differs markedly from the theory of finite-dimensional Lie algebras in that the latter possesses powerful classification theo­ rems, which usually allow one to "recognize" any finite­ dimensional Lie algebra (over the field of complex or real numbers), i.e., find it in some list. There are classifica­ tion theorems in the theory of infinite-dimensional Lie al­ gebras as well, but they are encumbered by strong restric­ tions of a technical character. These theorems are useful mainly because they yield a considerable supply of interest­ ing examples. We begin with a list of such examples, and further direct our main efforts to their study.