Classical Geometries in Modern Contexts: Geometry of Real Inner Product Spaces Third Edition

تمرکز این کتاب و مفاهیم هندسی آن بر روی فضاهای برداری واقعی X است که فضاهای حاصلضرب داخلی متناهی یا نامتناهی با ابعاد دلخواه بزرگتر یا مساوی 2 هستند. هم هندسه اقلیدسی و هم هندسه هذلولی را با توجه به طبیعی مشخص می کند. ویژگی‌های ترجمه‌های (عمومی) و فواصل عمومی X. همچنین برای این فضاهای X، هندسه‌های کره موبیوس و دروغ و همچنین هندسه‌هایی را که تبدیل‌های لورنتس در آن نقش کلیدی دارند، مورد مطالعه قرار می‌دهد.

اثبات قضایای جدیدتر. مشخص کردن ایزومتریک ها و تبدیل های لورنتس تحت فرضیه های خفیف گنجانده شده است، مانند نسخه های بعدی بی نهایت از قضایای معروف A.D. Alexandrov در مورد تبدیلات لورنتس. یک مزیت واقعی، رویکرد بدون بعد به نظریه های هندسی مهم است.

جدید این نسخه سوم، فصلی است که به ایده ساده و عالی لایب نیتس می پردازد که به ما امکان می دهد برای همین فضاهای X، ابرصفحه های اقلیدسی، هندسه هذلولی، یا هندسه کروی، هندسه ها را مشخص کنیم. لورنتس-مینکوفسکی و دی سیتر، و این از طریق ابعاد متناهی یا نامتناهی بزرگتر از 1.

یکی دیگر از نتایج جدید و اساسی در این نسخه به نمایش حرکات هذلولی، شکل آنها و تبدیل آنها مربوط می شود. علاوه بر این، نشان می‌دهیم که هندسه (P,G) بخش‌های مبتنی بر X نسبت به هندسه هذلولی بیش از X هم‌شکل است. در اینجا P تمام x در X هنجار کمتر از یک را جمع‌آوری می‌کند، G به عنوان گروه دوجکت‌های تبدیل P تعریف می‌شود. بخش‌هایی از P بر روی پاره‌ها.

تنها پیش‌نیاز خواندن این کتاب جبر خطی اولیه و هندسه واقعی ۲ و ۳ بعدی است. این بدان معناست که ریاضیدانانی که تاکنون علاقه خاصی به هندسه نداشته اند، می توانند برخی از ایده های عالی هندسه های کلاسیک را در زمینه های مدرن و عمومی مطالعه و درک کنند.

The focus of this book and its geometric notions is on real vector spaces X that are finite or infinite inner product spaces of arbitrary dimension greater than or equal to 2. It characterizes both euclidean and hyperbolic geometry with respect to natural properties of (general) translations and general distances of X. Also for these spaces X, it studies the sphere geometries of Möbius and Lie as well as geometries where Lorentz transformations play the key role.

Proofs of newer theorems characterizing isometries and Lorentz transformations under mild hypotheses are included, such as for instance infinite dimensional versions of famous theorems of A.D. Alexandrov on Lorentz transformations. A real benefit is the dimension-free approach to important geometrical theories.

New to this third edition is a chapter dealing with a simple and great idea of Leibniz that allows us to characterize, for these same spaces X, hyperplanes of euclidean, hyperbolic geometry, or spherical geometry, the geometries of Lorentz-Minkowski and de Sitter, and this through finite or infinite dimensions greater than 1.

Another new and fundamental result in this edition concerns the representation of hyperbolic motions, their form and their transformations. Further we show that the geometry (P,G) of segments based on X is isomorphic to the hyperbolic geometry over X. Here P collects all x in X of norm less than one, G is defined to be the group of bijections of P transforming segments of P onto segments.

The only prerequisites for reading this book are basic linear algebra and basic 2- and 3-dimensional real geometry. This implies that mathematicians who have not so far been especially interested in geometry could study and understand some of the great ideas of classical geometries in modern and general contexts.