Class Field Theory: From Theory to Practice

نظریه میدان کلاس جهانی یک دستاورد بزرگ نظریه اعداد جبری است که بر اساس ویژگی‌های عملکردی نقشه متقابل و قضیه وجود است. نویسنده پیامدها و استفاده عملی از این نتایج را با ارائه مطالعات و تصاویر دقیق از موضوعات کلاسیک (کلاس‌ها، idèles، میدان‌های کلاس پرتو، نمادها، قوانین متقابل، اصول هاسه، قضیه گرونوالد-وانگ، برج‌های هیلبرت، ... .). او همچنین برخی از نتایج جدید یا کمتر شناخته شده (قضیه انعکاس، ساختار بسته شدن آبلی یک میدان عددی) را اثبات می کند و بر ثابت (/cal T) p، شاخه p abelian، که به همشناسی مهم Galois مربوط می شود، تأکید می کند. خواص و حدسیات p-adic. این کتاب که واسطه بین ادبیات کلاسیک منتشر شده در دهه شصت و ادبیات محاسباتی اخیر است، مطالب زیادی را به صورت ابتدایی ارائه می دهد و برای دانشجویان، محققان و همه کسانی که شیفته این نظریه هستند مناسب است.

در چاپ دوم تصحیح شده 2005، نویسنده برخی از جزئیات ریاضی و کتابشناختی را بهبود می بخشد و چند صفحه در مورد محاسبات رتبه برای قضیه بازتاب کلی اضافه می کند. سپس او یک تفسیر حسابی برای گروه‌های طبقاتی معمولی ارائه می‌کند، و این را برای Spiegelungssatz برای میدان‌های درجه دوم و برای p-امین میدان سیکلوتومیک در رابطه با حدس Kummer-Vandiver در یک دیدگاه احتمالی اعمال می‌کند.

Global class field theory is a major achievement of algebraic number theory, based on the functorial properties of the reciprocity map and the existence theorem. The author works out the consequences and the practical use of these results by giving detailed studies and illustrations of classical subjects (classes, idèles, ray class fields, symbols, reciprocity laws, Hasse's principles, the Grunwald-Wang theorem, Hilbert's towers,...). He also proves some new or less-known results (reflection theorem, structure of the abelian closure of a number field) and lays emphasis on the invariant (/cal T) p, of abelian p-ramification, which is related to important Galois cohomology properties and p-adic conjectures. This book, intermediary between the classical literature published in the sixties and the recent computational literature, gives much material in an elementary way, and is suitable for students, researchers, and all who are fascinated by this theory.

In the corrected 2nd printing 2005, the author improves some mathematical and bibliographical details and adds a few pages about rank computations for the general reflection theorem; then he gives an arithmetical interpretation for usual class groups, and applies this to the Spiegelungssatz for quadratic fields and for the p-th cyclotomic field regarding the Kummer--Vandiver conjecture in a probabilistic point of view.